Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

f(x)=4x²−4ax+a²+2a+2 на множестве |x|≥1 не меньше 6.

При различных значениях a, график функции f(x)=4x²−4ax+a²+2a+2 парабола с вершиной

х₀ = -b/2a = 4a/8 = a/2

y₀ = - 2a + 2

Нужно найти а, при которых 4x²−4ax+a²+2a+2 ≥ 6 и х ∈ [-1;1]

Построим графики у=4x²−4ax+a²+2a+2 и у=6



Первое решение все параболы, расположенные выше параболы (№1), вершина которой находится на прямой у=6

Вершина параболы в точке А. y₀ =6 и y₀ = - 2a + 2

- 2a + 2 = 6

-2а = 4

а=-2

Параболы, расположены левее параболы №1 а ≤ - 2 а∈(-∞;-2)

Второе решение Так как х∈[-1;1] решение будет парабола, если она проходит через точки В и С

В(-1;6) и С(1;6)

f(x)=4x²−4ax+a²+2a+2

6 = 4 ∙ (-1)²−4a∙(-1)+a²+2a+2 и 6 = 4 ∙ 1²−4a∙1+a²+2a+2

6 = 4 + 4a +a²+2a+2 и 6 = 4 −4a +a²+2a+2

a²+6a = 0 и a²-2a = 0

а(а+6)=0 и а(а-2)=0

Общее решение а=0

Ответ: (-∞;-2) ; 0

РЕШЕНИЕ:


Построим графики функций левой и правой части

Если х=0 5/(х+2)=5/2

у = a|x-3| Угловой коэффициент k = a Все прямые проходят через точку (3;0)



Нужно найти значения а, при которых уравнение имеет ровно 2 корня. Это все прямые, которые расположены между касательной и прямой, проходящей через точку (0;5/2)

Найдем угловые коэффициенты (АВ) и (ВС)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В k=tg α = ОА/ОВ = 5/2 : 3 = 5/6

Вычислим при каком значении а графики функций проходят через точку С (угловой коэффициент ВС) a|x-3| = 5/(x+2) при х < 3 ⇒

⇒ а(3-х) = 5/(x+2)

а(3-х)(x+2) = 5

3ах - ах²+6а-2ах-5=0

ах²-ах+(5-6а) = 0

Уравнение имеет единственное решение, при D=0

D = a²-4a(5-6a) = 0

a(a-20+24a)=0

a(25a-20)=0

25a-20=0 или а=0

25а = 20

а = 20/25 = 4/5

а ∈ (4/5 ; 5/6 ]

Ответ: (4/5 ; 5/6 ]