Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

x²−|x−5+a|=|x−a+5|−(5−a)²

Введем переменную t = 5−a

Уравнение запишется в виде

x²−|x−t|=|x+t|−t²

x² + t² = |x + t| + |x−t|

Построим графики функций левой и правой части



Единственный корень будет точкой касания функций y=x² + t² и у= |x + t| + |x−t| (на рисунке розовый и синий графики)

t² = 2 | t |

t>0

t² = 2 t

t(t-2) = 0

t=0 или t=2

t=2 ⇒ 5−a = 2 ⇒ a = 3

t<0

t² = -2 t

t(t+2) = 0

t=0 или t=-2

t=-2 ⇒ 5−a = -2 ⇒ a = 7

Если t=0 ⇒ 5−a =0 ⇒ a = 5 ⇒ x²−|x|=|x| ⇒ x²−2|x|=0 два решения ⇒ a = 5 не удовлетворяет условию

Ответ: 3 и 7

РЕШЕНИЕ:

ax + √-3-4x-x² = 3a+1

√-3-4x-x² = - ax + 3a+1

√1² - (х+2)² = - ax + 3a+1

√1² - (х+2)² график часть окружности, с центром в точке (-2;0), радиусом 1

- ax + 3a+1 прямая с угловым коэффициентом k = - а, все прямые проходят через точку E(3;1)

Найдем общую точку пересечения всех графиков у=- ax + 3a+1
при а = 1 y=-х+4 при а=2 y=-2х+7
-х+4=-2х+7
x=3
y=1
E(3;1)



Нужно найти единственное решение. Это касательная или прямые, которые пересекают окружность в одной точке.

Угловой коэффициент касательной k=0 ⇒ - a = 0 ⇒ a=0

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и В k=tg α = ED/BD = 1/6

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и C k=tg α = ED/CD = 1/4

Прямые, которые пересекают окружность только в одной точке с угловым коэффициентом 1/6 < k ≤ 1/4

1/6 < k ≤ 1/4

1/6 < k ≤ 1/4

- 1/6 > a ≥ -1/4

a ∈ (- 1/4;-1/6]

Ответ: (- 1/4;-1/6] , 0

РЕШЕНИЕ:


Построим графики функций левой и правой части

Если х=0 5/(х+2)=5/2

у = a|x-3| Угловой коэффициент k = a Все прямые проходят через точку (3;0)



Нужно найти значения а, при которых уравнение имеет ровно 2 корня. Это все прямые, которые расположены между касательной и прямой, проходящей через точку (0;5/2)

Найдем угловые коэффициенты (АВ) и (ВС)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В k=tg α = ОА/ОВ = 5/2 : 3 = 5/6

Вычислим при каком значении а графики функций проходят через точку С (угловой коэффициент ВС) a|x-3| = 5/(x+2) при х < 3 ⇒

⇒ а(3-х) = 5/(x+2)

а(3-х)(x+2) = 5

3ах - ах²+6а-2ах-5=0

ах²-ах+(5-6а) = 0

Уравнение имеет единственное решение, при D=0

D = a²-4a(5-6a) = 0

a(a-20+24a)=0

a(25a-20)=0

25a-20=0 или а=0

25а = 20

а = 20/25 = 4/5

а ∈ (4/5 ; 5/6 ]

Ответ: (4/5 ; 5/6 ]