Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

∣ 2x²−3x−2 ∣=a−2x²−8x

Построим графики функций

у = ∣ 2x²−3x−2 ∣

у=a−2x²−8x



у=a−2x²−8x парабола, вершины направлены вниз

Координаты вершин парабол: х₀ = -b/(2a) = 8/(-4)=-2

y₀ = a−2x²−8x = a−2(-2)²−8(-2) = a - 24

Решение одно - когда графики касаются (точка Е). Найдем а , при котором Е точка касания ∣ 2x²−3x−2 ∣=a−2x²−8x при x≤ - 1/2

2x²−3x−2 =a−2x²−8x

4x² + 5x - (2+a) = 0

D = 25 + 16(2+a) Единственное решение при D=0 ⇒ 25 + 16(2+a)=0 ⇒ 25+32+16a=0 ⇒ 57+16a=0 ⇒ a= - 57/16

Уравнение не имеет решения, если парабола у=a−2x²−8x расположена ниже параболы при a = - 57/16 a<-57/16

a ≤ - 57/16

a ∈ (- ∞; - 57/16)

Ответ: (- ∞; - 57/16]

РЕШЕНИЕ:

∣ 5/x−3 ∣=ax−2

Построим графики функций

у = ∣ 5/x−3 ∣

у=ax−2



у=a−2x²−8x парабола, вершины направлены вниз

Решение два - когда графики касаются (точка Е). Найдем а , при котором Е точка касания ∣ 5/x−3 ∣=ax−2 при x≤ - 5/3

∣ 5/x−3 ∣=ax−2

- 5/x +3 =ax−2

ax² - 5x + 5 = 0

D = 25 - 20a Единственное решение при D=0 ⇒ 25 - 20a =0 ⇒ 20a=25 ⇒ a= 25/20=5/4

Решений три, если прямая у=ax−2 проходит через точку (5/3;0) ⇒ 0 = 5/3а - 2 ⇒ а=6/5

Уравнение имеет более двух корней, если прямые у=a−2x²−8x расположены между прямыми при а=5/4 и а=6/5 a∈(5/4;6/5]

Ответ: a∈(5/4;6/5]

РЕШЕНИЕ:

x²+(2−a)²=|x−2+a|+|x−a+2|

Введем переменную t = 2−a

Уравнение запишется в виде

x² + t² = |x − t| + |x+t|

Построим графики функций левой и правой части



Единственный корень будет точкой касания функций y=x² + t² и у= |x + t| + |x−t| (на рисунке розовый и синий графики)

t² = 2 | t |

t>0

t² = 2 t

t(t-2) = 0

t=0 или t=2

t=2 ⇒ 2−a = 2 ⇒ a = 0

t<0

t² = -2 t

t(t+2) = 0

t=0 или t=-2

t=-2 ⇒ 2−a = -2 ⇒ a = 4

Если t=0 ⇒ 2−a =0 ⇒ a = 2 ⇒ x²−|x|=|x| ⇒ x²−2|x|=0 два решения ⇒ a = 2 не удовлетворяет условию

Ответ: 0 и 4

РЕШЕНИЕ:

6a + √5+4x-x² = ax+3

√9-(x²-4x+4) = ax + 3 - 6a

√3² - (х-2)² = ax + 3 - 6a

√3² - (х-2)² график часть окружности, с центром в точке (2;0), радиусом 3

ax + 3 - 6a прямая с угловым коэффициентом k = а, все прямые проходят через точку E(6;3)

Найдем общую точку пересечения всех графиков у=ax + 3 - 6a
при а = 1 y=х-3 при а=2 y=2х-9
х-3=2х-9
x=6
y=3
E(6;3)



Нужно найти единственное решение. Это касательная или прямые, которые пересекают окружность в одной точке.

Угловой коэффициент касательной k=0 ⇒ a = 0 ⇒ a=0

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и В k=tg α = ED/BD = 3/7

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и C k=tg α = ED/CD = 3/1 = 3

Прямые, которые пересекают окружность только в одной точке с угловым коэффициентом 3/7 < k ≤ 3

3/7 < k ≤ 3

3/7 < a ≤ 3

a ∈ (3/7;3]

Ответ: (3/7;3] , 0