Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

Над парами целых чисел проводится операция: из пары (a; b) получается пара (3a+b; 3b−a).

а) Можно ли из какой-то пары получить пару (5;5)?
Пусть (a, b)(a,b) — исходная пара. Тогда:

3a+b=5
3b−a=5
​
Решим систему:
Из первого уравнения: b = 5 - 3a
Подставим во второе:

3(5 - 3a) - a = 5 ⟹15−9a−a=5⟹15−10a=5⟹10a=10⟹a=1
Тогда b=5−3⋅1=2.
Исходная пара (1, 2) дает (5, 5):

(3⋅1+2,3⋅2−1)=(5,5)

Ответ: да, из пары (1,2).

б) Верно ли, что если пара (c; d) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара (−d; c) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

Пусть (c,d) получена из (a,b):
c=3a+b,d=3b−a

Надо проверить, существует ли пара (x,y) такая, что:
3x + y = -d,
3y−x=c
Подставим выражения для c и d:

3x + y = -(3b - a) = a - 3b
3y - x = 3a + b

Решим систему относительно x и y:
Из первого: y = a - 3b - 3x
Подставим во второе:

3(a−3b−3x)−x=3a+b⟹3a−9b−9x−x=3a+b⟹−10x− ; ;9b=b⟹−10x=10b⟹x=−b

Тогда:
y=a−3b−3(−b)=a−3b+3b=a

Таким образом, (x,y) = (-b, a)

Проверим, что из (-b, a) получается (-d, c)

3(−b)+a=−3b+a=a−3b=−d(так как d=3b−a)
3a−(−b)=3a+b=c
Действительно, операция над (-b, a) дает (−d,c).

Ответ: да, верно.

в) Зададим расстояние между парами целых чисел (a; b) и (c; d) выражением |a−c|+|b−d|. Найдите наименьшее расстояние от пары (9;2) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Пусть (x,y) — пара, полученная из некоторой (a,b):
x=3a+b,y=3b−a
Надо минимизировать расстояние:
D = |x - 9| + |y - 2|

Подставим:
D = |3a + b - 9| + |3b - a - 2|

Обозначим:
u = a, v=b

Тогда:
D(u,v) = |3u + v - 9| + |3v - u - 2|

Надо минимизировать D по целым u,v

Заметим, что преобразование (a,b)→(3a+b,3b−a) линейно. Можно искать минимум, перебирая значения или используя геометрическую интерпретацию.

Рассмотрим выражение:

3u + v - 9 = 0 → v=9−3u
3v - u - 2 = 0 → 3(9 - 3u) - u - 2 = 27 - 9u - u - 2 = 25 - 10u = 0 → u = 2.5

Не целое. Поэтому минимум не ноль.

Попробуем перебрать значения u вокруг 2.5: u = 2 и u = 3

Случай u = 2:
D(2,v)=∣3⋅2+v−9∣+∣3v−2−2∣=∣6+v−9∣+ ∣3v−4∣=∣v−3∣+∣3v−4∣

Минимум по v:

Рассмотрим кусочные выражения:

Если v≥3: D = (v-3) + (3v-4) = 4v - 7, минимум при v=3v=3: 4⋅3−7=5.

Если v∈[4/3,3): D = (3-v) + (3v-4) = 2v - 1, минимум при v=2 (ближайшее целое к 4/3=1.33): 2⋅2−1=3.

Если v < 4/3: D = (3-v) + (4-3v) = 7 - 4v, минимум при v=1: 7−4=3.

Итак, при u=2 минимум D=3 (при v=1 или v=2).

Проверим v=1:

D=∣3⋅2+1−9∣+∣3⋅1−2−2∣=∣6+1−9∣ ;+∣3−4∣=∣−2∣+∣−1∣=2+1=3

v=2:
D=∣6+2−9∣+∣6−4∣=∣−1∣+∣2∣=1+2=3

Случай u = 3:
D(3,v) = |9 + v - 9| + |3v - 3 - 2| = |v| + |3v - 5|

Минимум:

v≥5/3≈1.67: D = v + (3v-5) = 4v - 5, минимум при v=2: 8-5=3

v∈[0,5/3): D = v + (5-3v) = 5 - 2v, минимум при v=1: 5-2=3

v < 0: D = -v + (5-3v) = 5 - 4v, минимум при v=-1: 5+4=9

Минимум 3.

Проверим u=1:
D(1,v) = |3 + v - 9| + |3v - 1 - 2| = |v - 6| + |3v - 3|

v≥3: D = (v-6) + (3v-3) = 4v - 9, минимум при v=3: 12-9=3

v∈[1,3): D = (6-v) + (3v-3) = 2v + 3, минимум при v=1: 2+3=5

v < 1: D = (6-v) + (3-3v) = 9 - 4v, минимум при v=0: 9

Минимум 3.

u=4:

D(4,v) = |12 + v - 9| + |3v - 4 - 2| = |v+3| + |3v-6|

v≥2: D = (v+3) + (3v-6) = 4v - 3, минимум при v=2: 8-3=5
v∈[−3,2): D = (v+3) + (6-3v) = 9 - 2v, минимум при v=1: 9-2=7
v<−3: D = (-v-3) + (6-3v) = 3 - 4v, минимум при v=-4: 3+16=19

Минимум 5.

Таким образом, наименьшее расстояние равно 3.

Ответ: наименьшее расстояние равно 3.

Ответ: да; да; 3