Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение √x, поэтому: x ≥ 0
Отрезок [0; 40] полностью входит в область определения.

Упростим функцию:
y = x√x - 6x + 3 = x^(3/2) - 6x + 3

Найдем производную функции:
y′ = (3/2)x^(1/2) - 6 = (3√x)/2 - 6

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
(3√x)/2 - 6 = 0
(3√x)/2 = 6
3√x = 12
√x = 4
x = 16

Точка x = 16 принадлежит отрезку [0; 40]

Вычислим значения функции:

В критической точке:
y(16) = 16√16 - 6×16 + 3 = 16×4 - 96 + 3 = 64 - 96 + 3 = -29

На левом конце отрезка:
y(0) = 0√0 - 6×0 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3

На правом конце отрезка:
y(40) = 40√40 - 6×40 + 3 = 40×2√10 - 240 + 3 = 80√10 - 237 ≈ 80×3,162 - 237 = 252,96 - 237 = 15,96

Сравним полученные значения:
y(16) = -29 (наименьшее)
y(0) = 3
y(40) ≈ 15,96 (наибольшее)

Ответ: На отрезке [0; 40] функция достигает наименьшего значения в точке x = 16.

Ответ: 16

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ + 10x² + 25x + 16
y′ = 3x² + 20x + 25

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² + 20x + 25 = 0
D = 20² - 4×3×25 = 400 - 300 = 100
x = (-20 ± √100) / (2×3) = (-20 ± 10) / 6
x₁ = (-20 + 10)/6 = -10/6 = -5/3 ≈ -1,67
x₂ = (-20 - 10)/6 = -30/6 = -5

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² + 20x + 25 = 3(x + 5)(x + 5/3)

Определим знаки на интервалах:

При x < -5: (x + 5) < 0 и (x + 5/3) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При -5 < x < -5/3: (x + 5) > 0 и (x + 5/3) < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > -5/3: (x + 5) > 0 и (x + 5/3) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -5 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -5 — точка максимума.
При переходе через x = -5/3 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -5/3 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -5

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ - 20x² + 100x + 23
y′ = 3x² - 40x + 100

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² - 40x + 100 = 0
D = (-40)² - 4×3×100 = 1600 - 1200 = 400
x = (40 ± √400) / (2×3) = (40 ± 20) / 6
x₁ = (40 + 20)/6 = 60/6 = 10
x₂ = (40 - 20)/6 = 20/6 = 10/3 ≈ 3,33

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² - 40x + 100 = 3(x - 10)(x - 10/3)

Определим знаки на интервалах:

При x < 10/3: (x - 10) < 0 и (x - 10/3) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При 10/3 < x < 10: (x - 10) < 0 и (x - 10/3) > 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 10: (x - 10) > 0 и (x - 10/3) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = 10/3 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 10/3 — точка максимума.
При переходе через x = 10 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 10 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: 10

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение x^3/2 = (√x)³, поэтому: x ≥ 0
Таким образом, область определения: x ∈ [0; +∞)

Запишем функцию в удобном виде:
y = x^3/2 - 21x + 11

Найдем производную функции:
y′ = (3/2)x^1/2 - 21 = (3√x)/2 - 21

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(3√x)/2 - 21 = 0
(3√x)/2 = 21
3√x = 42
√x = 14
x = 196

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (3/2)(√x - 14)

Определим знаки на интервалах:

При 0 ≤ x < 196: √x < 14 ⇒ √x - 14 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 196: √x > 14 ⇒ √x - 14 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точку экстремума:
При переходе через x = 196 производная меняет знак с - на + ⇒ x = 196 — точка минимума.

Ответ: 196