Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

а) Решите уравнение
2cos³ x = √2 sin² x + 2cos x

2cos³ x — √2 sin² x — 2cos x = 0

2cos x (cos² x — 1) — √2 sin² x = 0

Заменяем cos³ x — 1 = — sin² x
2cos x (— sin² x ) — √2 sin² x = 0
sin² x ( — 2cos x — √2) = 0

Получаем два уравнения:
sin² x = 0
— 2cos x — √2 = 0

sin² x = 0
sin x = 0
х = πk , k ∈ Z

— 2cos x — √2 = 0
— 2cos x = √2
cos x = — √2 / 2
x = ± arccos (— √2 / 2) + 2 π n = ± 3 π /4 + 2 π n

Ответ a):
х = πk , k ∈ Z
x = ± 3 π /4 + 2 π n, n ∈ Z


б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ — 4π; — 5π/2]

Для х = πk , k ∈ Z
— 4π ≤ πk ≤ — 5π/2
— 4 ≤ k ≤ — 5/2
— 4 ≤ k ≤ — 2.5
Так как k целое, то k = — 3, — 4
Подставим:

k = — 3 : х = π ( — 3) = — 3 π ∈[ — 4π; — 5π/2]
k = — 4 : х = π ( — 4) = — 4 π ∈[ — 4π; — 5π/2]


Для x = ± 3 π /4 + 2 π n
— 4π ≤ 3 π /4 + 2 π n ≤ — 5π/2
— 16π ≤ 3 π + 8 π n ≤ — 10π
— 19 π ≤8 π n ≤ — 13 π
— 19 ≤8 n ≤ — 13
— 19/8 ≤ n ≤ — 13/8
Так как n целое, то n = — 2, — 1
Подставим:

n = — 2 : х = 3 π /4 + 2 π n = 3 π /4 — 4 π = — 13 π/4 ∈ [ — 4π; — 5π/2]
n = — 1 : х = 3 π /4 + 2 π n = 3 π /4 — 2 π = — 5 π/4 ∉ [ — 4π; — 5π/2]

— 4π ≤ — 3 π /4 + 2 π n ≤ — 5π/2
— 16π ≤ — 3 π + 8 π n ≤ — 10π
— 13 π ≤8 π n ≤ — 7 π
— 13 ≤8 n ≤ — 7
— 13/8 ≤ n ≤ — 7/8
Так как n целое, то n = — 1
Подставим:

n = — 1 : х = — 3 π /4 + 2 π n = — 3 π /4 — 2 π = — 11 π/4 = — 2.75 π ∈ [ — 4π; — 5π/2]


Ответ б):
— 3 π
— 4 π
— 13 π/4
— 11 π/4

РЕШЕНИЕ:

а) Решите уравнение
4cos³ x = 2√3 sin² x + 4cos x

4cos³ x — 2√3 sin² x — 4cos x = 0

4cos x (cos² x — 1) — 2√3 sin² x = 0

Заменяем cos³ x — 1 = — sin² x
4cos x (— sin² x ) —2 √3 sin² x = 0
sin² x ( — 4cos x — 2√3) = 0

Получаем два уравнения:
sin² x = 0
— 4cos x — 2√3 = 0

sin² x = 0
sin x = 0
х = πk , k ∈ Z

— 4cos x — 2√3 = 0
— 4cos x = 2√3
cos x = — 2√3 / 4
cos x = — √3 / 2
x = ± arccos (— √3 / 2) + 2 π n = ± 5 π /6 + 2 π n

Ответ a):
х = πk , k ∈ Z
x = ± 5 π /6 + 2 π n, n ∈ Z


б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ — 7π/2; — 2π]

Для х = πk , k ∈ Z
— 7π/2 ≤ πk ≤ — 2π
— 7/2≤ k ≤ — 2
— 3,5 ≤ k ≤ — 2
Так как k целое, то k = — 3, — 2
Подставим:

k = — 3 : х = π ( — 3) = — 3 π ∈ [ — 7π/2; — 2π]
k = — 2 : х = π ( — 2) = — 2 π ∈ [ — 7π/2; — 2π]


Для x = ± 5 π /6 + 2 π n
— 7π/2 ≤ 5 π /6 + 2 π n ≤ — 2π
— 21π ≤ 5 π + 12 π n ≤ — 12π
— 26 π ≤8 π n ≤ — 17 π
— 26 ≤8 n ≤ — 17
— 26/8 ≤ n ≤ — 17/8
Так как n целое, то n = — 3, — 2, — 1
Подставим:

n = — 3 : х = 5 π /6 + 2 π n = 5 π /6 — 6 π = — 31 π/6 ∉ [ — 7π/2; — 2π]
n = — 2 : х = 5 π /6 + 2 π n = 5 π /6 — 4 π = — 19 π/6 ∈ [ — 7π/2; — 2π]
n = — 1 : х = 5 π /6 + 2 π n = 5 π /6 — 2 π = — 7π/6 ∉ [ — 7π/2; — 2π]

— 7π/2 ≤ — 5 π /6 + 2 π n ≤ — 2π
— 21π ≤ — 5 π + 12 π n ≤ — 12π
— 16 π ≤8 π n ≤ — 7 π
— 16 ≤8 n ≤ — 7
— 16/8 ≤ n ≤ — 7/8
Так как n целое, то n = — 2, — 1
Подставим:

n = — 2 : х = — 5 π /6 + 2 π n = — 5 π /6 — 4 π = — 29 π/6 ∉ [ — 7π/2; — 2π]
n = — 1 : х = — 5 π /6 + 2 π n = — 5 π /6 — 2 π = — 17π/6 ∈ [ — 7π/2; — 2π]


Ответ б):
— 3 π
— 2 π
— 19 π/6
— 17π/6

РЕШЕНИЕ:

а) Решите уравнение
2cos³ x = √2 sin² x + 2cos x

2cos³ x — √2 sin² x — 2cos x = 0

2cos x (cos² x — 1) — √2 sin² x = 0

Заменяем cos³ x — 1 = — sin² x
2cos x (— sin² x ) — √2 sin² x = 0
sin² x ( — 2cos x — √2) = 0

Получаем два уравнения:
sin² x = 0
— 2cos x — √2 = 0

sin² x = 0
sin x = 0
х = πk , k ∈ Z

— 2cos x — √2 = 0
— 2cos x = √2
cos x = — √2 / 2
x = ± arccos (— √2 / 2) + 2 π n = ± 3 π /4 + 2 π n

Ответ a):
х = πk , k ∈ Z
x = ± 3 π /4 + 2 π n, n ∈ Z


б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ — 5π/2; — π]

Для х = πk , k ∈ Z
— 5π/2 ≤ πk ≤ — π
— 5/2 ≤ k ≤ — 1
— 2,5 ≤ k ≤ — 1
Так как k целое, то k = — 2, — 1
Подставим:

k = — 1 : х = π ( — 1) = — π ∈ [ — 5π/2; — π]
k = — 2 : х = π ( — 2) = — 2 π ∈ [ — 5π/2; — π]


Для x = ± 3 π /4 + 2 π n
— 5π/2 ≤ 3 π /4 + 2 π n ≤ — π
— 10π ≤ 3 π + 8 π n ≤ — 4π
— 13 π ≤8 π n ≤ — 4 π
— 13 ≤8 n ≤ — 4
— 13/8 ≤ n ≤ — 4/8
Так как n целое, то n = — 1
Подставим:

n = — 1 : х = 3 π /4 + 2 π n = 3 π /4 — 2 π = — 5 π/4 ∈ [ — 5π/2; — π]

— 5π/2 ≤ — 3 π /4 + 2 π n ≤ — π
— 10π ≤ — 3 π + 8 π n ≤ — 4π
— 7 π ≤8 π n ≤ — π
— 7 ≤8 n ≤ — 1
— 7/8 ≤ n ≤ — 1/8
Так как n целое, то n нет

Ответ б):
— π
— 2 π
— 5 π/4

РЕШЕНИЕ:

а) Решите уравнение
4cos³ x = 2√2 sin² x + 4cos x

4cos³ x — 2√2 sin² x — 4cos x = 0

4cos x (cos² x — 1) — 2√2 sin² x = 0

Заменяем cos³ x — 1 = — sin² x
4cos x (— sin² x ) —2 √2 sin² x = 0
sin² x ( — 4cos x — 2√2) = 0

Получаем два уравнения:
sin² x = 0
— 4cos x — 2√2 = 0

sin² x = 0
sin x = 0
х = πk , k ∈ Z

— 4cos x — 2√2 = 0
— 4cos x = 2√2
cos x = — 2√2 / 4
cos x = — √2 / 2
x = ± arccos (— √2 / 2) + 2 π n = ± 3 π /4 + 2 π n

Ответ a):
х = πk , k ∈ Z
x = ± 3 π /4 + 2 π n, n ∈ Z


б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ — 7π/2; — 3π]

Для х = πk , k ∈ Z
— 7π/2 ≤ πk ≤ — 3π
— 7/2≤ k ≤ — 3
— 3,5 ≤ k ≤ — 3
Так как k целое, то k = — 3
Подставим:

k = — 3 : х = π ( — 3) = — 3 π ∈ [ — 7π/2; — 3π]


Для x = ± 3 π /4 + 2 π n
— 7π/2 ≤ 3 π /4 + 2 π n ≤ — 2π
— 14π ≤ 3 π + 8 π n ≤ — 8π
— 17 π ≤8 π n ≤ — 11 π
— 17 ≤8 n ≤ — 11
— 17/8 ≤ n ≤ — 11/8
Так как n целое, то n = — 1, — 2
Подставим:

n = — 1 : х = 3 π /4 + 2 π n = 3 π /4 — 2 π = — 5π/4 ∉ [ — 7π/2; — 3π]
n = — 2 : х = 3 π /4 + 2 π n = 3 π /4 — 4 π = — 13π/4 ∈ [ — 7π/2; — 3π]

— 7π/2 ≤ — 3 π /4 + 2 π n ≤ — 2π
— 14π ≤ — 3 π + 8 π n ≤ — 8π
— 11 π ≤8 π n ≤ — 5 π
— 11 ≤8 n ≤ — 5
— 11/8 ≤ n ≤ — 5/8
Так как n целое, то n = — 1
Подставим:

n = — 1 : х = — 3 π /4 + 2 π n = — 3 π /4 — 2 π = — 11π/4 ∉ [ — 7π/2; — 3π]


Ответ б):
— 3 π
— 13 π/4
— 17π/6