Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

а) 2,4,6,8 последнее число 8 ⇒ сумма всех чисел равна 8. Первое число 2 - первым записано 2. Можно взять набор 2,2,2,2 или 2,2,4

б) 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22
последнее число 22 ⇒ сумма всех чисел равна 22. Первое число 1 - первым записано 1 Без первого числа сумма чисел 22-1=21
Такого числа нет в наборе ⇒ примера таких чисел не существует

в) 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52
последнее число 52 ⇒ сумма всех чисел равна 52. Первое число 9 - первым записано 9 - оно же наименьшее число
52/9 = 5,7 ⇒ задумано не более 5 чисел
Если первыми написаны 2 девятки, то сумма 9+9=18, а у нас 10, 11 ⇒ 10 и 11 тоже записаны. Известны 3 числа 9,10,11
9+10+11=30 Сумма 52. Чисел не более 5. На другие числа остается 52-30=22 Это сумма чисел 10+12, 9+13, 11+11, 22
9+10+11+10+12 - не подходит, в наборе нет числа 12
9+10+11+ 9+13 - не подходит, в наборе нет числа 13
9+10+11+11+11 - не подходит, сумма 42 не получается
9+10+11+22
=======================

Ответ: а) 2,2,2,2 б) нет в)9,10,11,22

РЕШЕНИЕ:

а) Выписано 7 цифр ⇒ набор из 3 цифр (abc ⇒ a+b, a+c, b+c, a+b+c, a, b, c)
Если два числа положительны ⇒ в наборе суммы не менее 3 положительных чисел (как и у нас)⇒ два числа положительные ⇒ отрицательное число одно, минимальное -3
Максимальное положительное в наборе − 3, − 1, 1, 2, 3, 4, 6 число 6. Из набора 6=4+2
-3,4,2

б) Пусть за­ду­ман­ы числа, среди ко­то­рых нет нуля. Для них в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей.
Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей
Если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей⇒ 0 встречается 5 раз (нечетное) ⇒ среди чисел есть 0.
Если задумано 3 не нулевых числа ⇒ на доске не более 1 нуля, если добавить 0 на доске не более 2k+1=3 нулей
Если задумано 4 не нулевых числа ⇒ на доске не более 3 нулей, если добавить 0 на доске не более 2k+1=7 нулей в том числе и 5.
Подберем набор чисел -2,-1,0,1,3

в) нет, не всегда.
a,b,(-a-b) и –a,-b,(a+b) дают одинаковый набор на доске a,b,-a,-b,a+b,-a-b,0
например −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
=======================

Ответ: а) -3,4,2 б) 5 в)нет

РЕШЕНИЕ:

а) Выписано 7 цифр ⇒ набор из 3 цифр (abc ⇒ a+b, a+c, b+c, a+b+c, a, b, c)
Если два числа положительны ⇒ в наборе суммы не менее 3 положительных чисел (как и у нас)⇒ два числа положительные ⇒ отрицательное число одно, минимальное -5
Максимальное положительное в наборе − 5, − 2, 1, 3, 4, 6, 9 число 9. Из набора 9=6+3
-5,6,3

б) Пусть за­ду­ман­ы числа, среди ко­то­рых нет нуля. Для них в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей.
Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей
Если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей⇒ 0 встречается 6 раз (четное) ⇒ среди чисел нет 0.
Если задумано 3 не нулевых числа ⇒ не более 1 суммы совпадает (на доске не более 1 нуля)
Если задумано 4 не нулевых числа ⇒ не более 3 сумм совпадает (на доске не более 3 нулей)
Если задумано 5 не нулевых числа ⇒ не более 4 сумм совпадает (на доске не более 4 нулей)
Подберем набор - 5 ; - 2; -1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно шесть нулей.
Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 6

в) нет, не всегда.
a,b,(-a-b) и –a,-b,(a+b) дают одинаковый набор на доске a,b,-a,-b,a+b,-a-b,0
например −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
=======================

Ответ: а) -5,6,3 б)6 в)нет