РЕШЕНИЕ:



Проведём через точку K прямую, параллельную основаниям трапеции. Она пересечёт боковые стороны в точках E и F.

Так как K — середина CD, то по теореме Фалеса E и F — середины боковых сторон, а EF — средняя линия трапеции.

Пусть h — высота трапеции. Тогда расстояние от EF до BC равно h/2 и до AD равно h/2.

Площадь треугольника KAB равна сумме площадей треугольников KAE и KBE, но проще рассмотреть иначе:

Треугольник KAB состоит из двух частей:
— треугольника ABE (или ABF), площадь которого равна половине площади трапеции, так как EF — средняя линия;
— но точнее: площадь треугольника KAB равна площади трапеции минус площади треугольников AKD и BKC.

Площадь трапеции: S = (AD + BC)/2 · h.

Площадь ∆AKD = 1/2 · AD · h/2 = AD · h/4.

Площадь ∆BKC = 1/2 · BC · h/2 = BC · h/4.

Тогда:
S_KAB = S − S_AKD − S_BKC =
= (AD + BC)/2 · h − AD·h/4 − BC·h/4 =
= h/4 · (2AD + 2BC − AD − BC) =
= h/4 · (AD + BC) =
= 1/2 · (AD + BC)/2 · h =
= 1/2 · S

Что и требовалось доказать.

РЕШЕНИЕ:



Проведём через точку E прямую, параллельную основаниям трапеции. Она пересечёт боковые стороны в точках K и F.

Так как E — середина AB, то по теореме Фалеса K и F — середины боковых сторон, а KF — средняя линия трапеции.

Пусть h — высота трапеции. Тогда расстояние от KF до BC равно h/2 и до AD равно h/2.

Площадь трапеции: S = (AD + BC)/2 · h.

Площадь ∆ECD = S − S_EAD − S_EBC.

Площадь ∆EAD = 1/2 · AD · h/2 = AD · h/4.

Площадь ∆EBC = 1/2 · BC · h/2 = BC · h/4.

Тогда:
S_ECD = S − S_EAD − S_EBC =
= (AD + BC)/2 · h − AD·h/4 − BC·h/4 =
= h/4 · (2AD + 2BC − AD − BC) =
= h/4 · (AD + BC) =
= 1/2 · (AD + BC)/2 · h =
= 1/2 · S

Что и требовалось доказать.