Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

а) 2sin³ x = √2 cos² x + 2sin x
2sin³ x - √2 cos² x - 2sin x = 0
Вспомним основное тригонометрическое тождество: cos² x = 1 - sin² x Подставим:
2sin³ x - √2 (1 - sin² x) - 2sin x = 0
2sin³ x - √2 + √2sin² x - 2sin x = 0
2sin x (sin² x - 1) + √2 (sin² x - 1) = 0
(sin² x - 1) (2sin x + √2) = 0

Получаем два уравнения:
sin² x - 1 = 0
2sin x + √2 = 0

Решаем первое уравнение:
sin² x - 1 = 0
sin x = ±1
х = π /2 + πk, k∈Z

Решаем второе уравнение:
2sin x + √2 = 0
2sin x = — √2
sin x = — √2/2
х = ( — 1)ⁿ arcsin (— √2/2) + π n = ( — 1)ⁿ ( — π /4) + π n , n ∈ Z

Упростим: х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ — 4π; — 5π/2]

1. Для первой серии: х = π /2 + πk, k∈Z
— 4π ≤ π /2 + πk ≤ — 5π/2
— 8π ≤ π + 2πk ≤ — 5π
— 9π ≤ 2πk ≤ — 6π
— 9/2 ≤ k ≤ — 3
Так как k целое, то k = — 4, — 3
Подставим:
k = — 4 : х = π / 2 — 4 π = — 7 π / 2
k = — 3 : х = π / 2 — 3 π = — 5 π / 2

Проверим границы: — 5 π / 2 входит в отрезок, — 7 π / 2 =−3.5π тоже входит, так как -4π≤-3.5π≤−2.5π.

2. Для второй серии: х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z

Найдем n, такое что:

— 4π ≤ ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n ≤ — 5π/2

Рассмотрим отдельно для четных и нечетных n

Случай 1: n четное, пусть n=2m

тогда ( — 1)ⁿ⁺¹ = ( — 1)^2m+1 = — 1

х = — π /4 + 2 π m

Подставим в неравенство:
— 4π ≤ — π /4 + 2 π m ≤ — 5π/2
— 16π ≤ — π + 8 π m ≤ — 10π
— 15π ≤ 8 π m ≤ — 9π
−1.875≤m≤−1.125

Так как m целое, то m = — 1

Подставим: х = — π /4 + 2 π m = — π /4 + 2 π ( — 1) = — π /4 — 2 π = — 9 π /4

Проверим: — 9 π /4 = — 2,25 π , а отрезок [ — 4π; — 5π/2], так что подходит.

Случай 2: n нечетное, пусть n=2m+1

тогда ( — 1)ⁿ⁺¹ = ( — 1)^2m+2 = 1

х = π /4 + π (2m+1) = π /4 + 2 π m + π = π /4 + π + 2 π m

Подставим в неравенство:
— 4π ≤ π /4 + π + 2 π m ≤ — 5π/2
— 4π ≤ 5 π /4 + 2 π m ≤ — 5π/2
— 16π ≤ 5 π + 8π m ≤ — 10π
— 21π ≤ 8π m ≤ — 15π
— 21 ≤ 8 m ≤ — 15
−2.625≤m≤−1.875

Так как m целое, то m = — 2

Подставим: х = 5 π /4 + 2 π ( — 2) = 5π /4 — 4 π = — 11π /4

Проверим: — 11 π /4 = — 2,75 π , что входит в отрезок [ — 4π; — 5π/2]

ИТОГО для б)
— 7 π / 2
— 5 π / 2
— 9 π /4
— 11 π /4

Ответ:
а) х = π /2 + πk, k∈Z
х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z

б) — 7 π / 2
— 5 π / 2
— 9 π /4
— 11 π /4

РЕШЕНИЕ:

а) Решите уравнение
3cos³ x = √3 sin² x + 3cos x

3cos³ x — √3 sin² x — 3cos x = 0

3cos x (cos² x — 1) — √3 sin² x = 0

Заменяем cos³ x — 1 = — sin² x
3cos x (— sin² x ) — √3 sin² x = 0
sin² x ( — 3cos x — √3) = 0

Получаем два уравнения:
sin² x = 0
— 3cos x — √3 = 0

sin² x = 0
sin x = 0
х = πk , k ∈ Z

— 3cos x — √3 = 0
— 3cos x = √3
cos x = — √3 / 3
x = ± arccos (— √3 / 3) + 2 π n

Ответ a):
х = πk , k ∈ Z
x = ± arccos (— √3 / 3) + 2 π n, n ∈ Z


б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ — 7π/2; — 2π]

Для х = πk , k ∈ Z
— 7π/2 ≤ πk ≤ — 2π
— 7/2 ≤ k ≤ — 2π
— 3,5 ≤ k ≤ — 2
Так как k целое, то k = — 2, — 3
Подставим:
k = — 2 : х = π ( — 2) = — 2 π ∈ [ — 7π/2; — 2π]
k = — 3 : х = π ( — 3) = — 3 π ∈ [ — 7π/2; — 2π]

Для x = ± arccos (— √3 / 3) + 2 π n
— 7π/2 ≤ ± arccos (— √3 / 3) + 2 π n ≤ — 2π
— 7π/2 ≤ ± 0,348 + 2 π n ≤ — 2π

−2.098≤n≤−1.348
−1.402≤n≤−0.652

n - целое
n = — 2 : Для x = arccos (— √3 / 3) + 2 π n = arccos (— √3 / 3) — 4 π
n = — 1 : Для x = arccos (— √3 / 3) + 2 π n = arccos (— √3 / 3) — 2 π

Ответ б):
х = — 3 π
x = arccos (— √3 / 3) — 4 π
x = arccos (— √3 / 3) — 2 π

РЕШЕНИЕ:

а) 4sin³ x = 2√2 cos² x + 4sin x
4sin³ x - 2√2 cos² x - 4sin x = 0
Вспомним основное тригонометрическое тождество: cos² x = 1 - sin² x Подставим:
4sin³ x - 2√2 (1 - sin² x) - 4sin x = 0
4sin³ x - 2√2 + 2√2sin² x - 4sin x = 0
4sin x (sin² x - 1) + 2√2 (sin² x - 1) = 0
(sin² x - 1) (4sin x + 2√2) = 0

Получаем два уравнения:
sin² x - 1 = 0
4sin x + 2√2 = 0

Решаем первое уравнение:
sin² x - 1 = 0
sin x = ±1
х = π /2 + πk, k∈Z

Решаем второе уравнение:
4sin x + 2√2 = 0
4sin x = — 2√2
sin x = — √2/2
х = ( — 1)ⁿ arcsin (— √2/2) + π n = ( — 1)ⁿ ( — π /4) + π n , n ∈ Z

Упростим: х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z

Ответ:
а) х = π /2 + πk, k∈Z
х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z


б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ — 3π; — 3π/2]

1. Для первой серии: х = π /2 + πk, k∈Z
— 3π ≤ π /2 + πk ≤ — 3π/2
— 6π ≤ π + 2πk ≤ — 3π
— 7π ≤ 2πk ≤ — 4π
— 7/2 ≤ k ≤ — 2
Так как k целое, то k = — 3, — 2
Подставим:
k = — 3 : х = π / 2 — 3 π = — 5 π / 2
k = — 2 : х = π / 2 — 2 π = — 3 π / 2

Проверим границы: — 5 π / 2 не входит в отрезок, — 3 π / 2 =−1.5π входит, так как — 3π≤ — 1.5π≤−3π/2

2. Для второй серии: х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z

Найдем n, такое что:

— 3π ≤ ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n ≤ — 3π/2

Рассмотрим отдельно для четных и нечетных n

Случай 1: n четное, пусть n=2m

тогда ( — 1)ⁿ⁺¹ = ( — 1)^2m+1 = — 1

х = — π /4 + 2 π m

Подставим в неравенство:
— 3π ≤ — π /4 + 2 π m ≤ — 3π/2
— 12π ≤ — π + 8 π m ≤ — 6π
— 11π ≤ 8 π m ≤ — 5π
−11/8≤m≤−5/8

Так как m целое, то m = 1

Подставим: х = — π /4 + 2 π m = — π /4 + 2 π ( 1) = — π /4 + 2 π = — 7 π /4

Проверим: — 7 π /4 = — 1,75 π , а отрезок [ — 3π; — 3π/2], так что не подходит.

Случай 2: n нечетное, пусть n=2m+1

тогда ( — 1)ⁿ⁺¹ = ( — 1)^2m+2 = 1

х = π /4 + π (2m+1) = π /4 + 2 π m + π = π /4 + π + 2 π m

Подставим в неравенство:
— 3π ≤ π /4 + π + 2 π m ≤ — 3π/2
— 3π ≤ 5 π /4 + 2 π m ≤ — 3π/2
— 12π ≤ 5 π + 8π m ≤ — 6π
— 17π ≤ 8π m ≤ — 11π
— 17 ≤ 8 m ≤ — 11
−17/8≤m≤−11/8

Так как m целое, то m = — 1, — 2

Подставим m = — 1: х = 5 π /4 + 2 π ( — 1) = 5π /4 — 2 π = — 3π /4
Подставим m = — 2: х = 5 π /4 + 2 π ( — 2) = 5π /4 — 4 π = — 11π /4

Проверим: — 11 π /4 = — 2,75 π , что входит в отрезок [ — 3π; — 3π/2]
Проверим: — 3 π /4 = — 0,75 π , что не входит в отрезок [ — 3π; — 3π/2]

Ответ б):
— 3 π / 2
— 11 π / 4

РЕШЕНИЕ:

а) √2sin³ x = cos² x + √2sin x
√2sin³ x — cos² x — √2sin x= 0
Вспомним основное тригонометрическое тождество: cos² x = 1 — sin² x Подставим:
√2sin³ x — (1 — sin² x) — √2sin x = 0
√2sin³ x — 1 + sin² x — √2sin x = 0
√2sin x (sin² x — 1 ) + (sin² x — 1) = 0
(sin² x — 1) (√2sin x + 1) = 0

Получаем два уравнения:
sin² x — 1 = 0
4sin x + 1 = 0

Решаем первое уравнение:
sin² x — 1 = 0
sin x = ±1
х = π /2 + πk, k∈Z

Решаем второе уравнение:
√2sin x + 1 = 0
√2sin x = — 1
sin x = — 1/√2
sin x = — √2/2
х = ( — 1)ⁿ arcsin (— √2/2) + π n = ( — 1)ⁿ ( — π /4) + π n , n ∈ Z

Упростим: х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z

Ответ:
а) х = π /2 + πk, k∈Z
х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z


б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ — 5π/2; — π]

1. Для первой серии: х = π /2 + πk, k∈Z
— 5π/2 ≤ π /2 + πk ≤ — π
— 5π ≤ π + 2πk ≤ — 2π
— 6π ≤ 2πk ≤ — 3π
— 3 ≤ k ≤ — 1,5
Так как k целое, то k = — 3, — 2, — 1
Подставим:
k = — 3 : х = π / 2 — 3 π = — 5 π / 2
k = — 2 : х = π / 2 — 2 π = — 3 π / 2
k = — 1 : х = π / 2 — π = — π / 2


Проверим границы:
— 5 π / 2 входит в отрезок [ — 5π/2; — π]
— 3 π / 2 =−1.5π входит в отрезок [ — 5π/2; — π]
— π / 2 не входит в отрезок [ — 5π/2; — π]

2. Для второй серии: х = ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n , n ∈ Z

Найдем n, такое что:

— 5π/2 ≤ ( — 1)ⁿ⁺¹ π /4 + π n ≤ — π

Рассмотрим отдельно для четных и нечетных n

Случай 1: n четное, пусть n=2m

тогда ( — 1)ⁿ⁺¹ = ( — 1)^2m+1 = — 1

х = — π /4 + 2 π m

Подставим в неравенство:
— 5π/2 ≤ — π /4 + 2 π m ≤ — π
— 10π ≤ — π + 8 π m ≤ — 4π
— 9π ≤ 8 π m ≤ — 3π
— 9/8≤m≤ — 3/8

Так как m целое, то m = — 1

Подставим: х = — π /4 + 2 π m = — π /4 + 2 π ( — 1) = — π /4 — 2 π = — 9 π /4

Проверим: — 9 π /4 = — 2,25 π ∈ отрезку [ — 5π/2; — π].

Случай 2: n нечетное, пусть n=2m+1

тогда ( — 1)ⁿ⁺¹ = ( — 1)^2m+2 = 1

х = π /4 + π (2m+1) = π /4 + 2 π m + π = π /4 + π + 2 π m

Подставим в неравенство:
— 5π/2 ≤ π /4 + π + 2 π m ≤ — π
— 5π /2≤ 5 π /4 + 2 π m ≤ — π
— 10π ≤ 5 π + 8π m ≤ — 4π
— 15π ≤ 8π m ≤ — 9π
— 15 ≤ 8 m ≤ — 9
−15/8≤m≤−9/8

Так как m целое, то m = — 1

Подставим m = — 1: х = 5 π /4 + 2 π ( — 1) = 5π /4 — 2 π = — 3π /4

Проверим: — 3 π /4 = — 0,75 π , что не входит в отрезок [ — 5π/2; — π]

Ответ б):
— 5 π / 2
— 3 π / 2
— 9 π /4