Учебно-методические комплексы

Решение:
а) Решите уравнение
√3 sin x + cos x = 1
Разделим на 2:
(√3/2)sin x + (1/2)cos x = 1/2
sin x cos(π/6) + cos x sin(π/6) = 1/2
sin(x + π/6) = 1/2

x + π/6 = π/6 + 2πk или x + π/6 = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z
x = 2πk или x = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z

Ответ а):
x = 2πk, k ∈ Z
x = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; 0]

x = 2πk:
-3π/2 ≤ 2πk ≤ 0
-0.75 ≤ k ≤ 0 ⇒ k = 0 ⇒ x = 0

x = 2π/3 + 2πk:
-3π/2 ≤ 2π/3 + 2πk ≤ 0
При k = -1: x = 2π/3 - 2π = -4π/3 ≈ -4.19 ∈ [-4.71; 0]
При k = 0: x = 2π/3 ≈ 2.09 > 0

Ответ б):
x = 0, x = -4π/3

РЕШЕНИЕ:
а) Решите уравнение
sin(π + x) + √3 cos x = 0
Упростим sin(π + x) = -sin x:

-sin x + √3 cos x = 0
√3 cos x = sin x
tg x = √3

x = π/3 + πk, k ∈ Z

Ответ а):
x = π/3 + πk, k ∈ Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π/2; 3π/2]

π/2 ≤ π/3 + πk ≤ 3π/2
1/2 ≤ 1/3 + k ≤ 3/2
1/6 ≤ k ≤ 7/6
k = 1 ⇒ x = π/3 + π = 4π/3 ≈ 4.19 ∈ [1.57; 4.71]

Ответ б):
x = 4π/3

РЕШЕНИЕ:
а) Решите уравнение
cos(π - x) - sin(π/2 + x) = -1
Упростим:
cos(π - x) = -cos x
sin(π/2 + x) = cos x

-cos x - cos x = -1
-2cos x = -1
cos x = 1/2

x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z

Ответ а):
x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/2]

x = π/3 + 2πk:
При k = 0: x = π/3 ≈ 1.05 ∈ [-3.14; 1.57]
При k = -1: x = π/3 - 2π = -5π/3 ≈ -5.24 < -π

x = -π/3 + 2πk:
При k = 0: x = -π/3 ≈ -1.05 ∈ [-3.14; 1.57]
При k = 1: x = -π/3 + 2π = 5π/3 ≈ 5.24 > π/2

Ответ б):
x = π/3, x = -π/3

РЕШЕНИЕ:
а) Решите уравнение
√3 sin(π + x) + cos(2π - x) = 1

Упростим:
sin(π + x) = -sin x
cos(2π - x) = cos x

-√3 sin x + cos x = 1

Разделим на 2:
-(√3/2) sin x + (1/2) cos x = 1/2
cos x cos(π/3) - sin x sin(π/3) = 1/2
cos(x + π/3) = 1/2
x + π/3 = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z

1. x + π/3 = π/3 + 2πk ⇒ x = 2πk
2. x + π/3 = -π/3 + 2πk ⇒ x = -2π/3 + 2πk

Ответ а):
x = 2πk, k ∈ Z
x = -2π/3 + 2πk, k ∈ Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2π]

x = 2πk:
При k = 0: x = 0
При k = 1: x = 2π

x = -2π/3 + 2πk:
При k = 1: x = -2π/3 + 2π = 4π/3 ≈ 4.19
При k = 2: x = -2π/3 + 4π = 10π/3 ≈ 10.47 > 2π

Ответ б):
x = 0, x = 2π, x = 4π/3