Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

y = (x²−8x+8)e^2−x
Найдем производную
у^/ = (2х-8)e^2−x - (x²−8x+8)e^2−x
у^/ = e^2−x( 2х-8 - x²+8x-8) =e^2−x(- x²+10х-16)
у^/ = 0
e^2−x(- x²+10х-16) = 0
e^2−x ≠ 0 e^2−x > 0
- x²+10х-16 = 0
D = 100 - 64 = 36 = 6²
x₁ = (-10+6)/(-2) = 2
x₂ = (-10-6)/(-2) = 8
Знак производной на интервалах:
_______-_________+
_[__________o___________]___________o у^/
1______.__ 2______.__ 7______.__ 8
___________
Наименьшее значение функции в точке х = 2
y(2)=(2²−8 ∙ 2 +8)e²⁻² = 4-16+8 = -4

Ответ: - 4

РЕШЕНИЕ:

y = (x²−10x+10)e^10−x
Найдем производную
у^/ = (2х-10)e^10−x - (x²−10x+10)e^10−x
у^/ = e^10−x( 2х-10 - x²+10x-10) =e^10−x(- x²+12х-20)
у^/ = 0
e^10−x(- x²+12х-20) = 0
e^10−x ≠ 0 e^10−x > 0
- x²+12х-20 = 0
D = 144 - 80 = 64 = 8²
x₁ = (-12+8)/(-2) = 2
x₂ = (-12-8)/(-2) = 10
Знак производной на интервалах:
___.............____+_________-
_o___________[__________o___________] у^/
2______.__ 5______.__ 10______.__ 11
__..........____......_____
Наибольшее значение функции в точке х = 10
y(10)=(10²−10 ∙ 10+10)e¹⁰⁻¹⁰ = 100-100+10 = 10

Ответ: 10

РЕШЕНИЕ:

y = (x−2)²e^x−2
Найдем производную
у^/ = 2(х-2)e^x−2 + (x²−4x+4)e^x−2
у^/ = e^x−2( 2х-4 + x²−4x+4) =e^x−2(x² - 2х)
у^/ = 0
e^x−2(x² - 2х) = 0
e^x−2 ≠ 0 e^x−2 > 0
x² - 2х = 0
x (x - 2) = 0
х=0 или х-2=0
х=0 или х=2
Знак производной на интервалах:
___.............____-_________+
_o___________[__________o___________] у^/
0______.__ 1______.__ 2______.__ 4
__..........____......_____
Наименьшее значение функции в точке х = 2
y(2)=(2−2)²e²⁻² = 0

Ответ: 0

РЕШЕНИЕ:

y = (x−2)²e^x
Найдем производную
у^/ = 2(х-2)e^x + (x²−4x+4)e^x
у^/ = e^x( 2х-4 + x²−4x+4) =e^x(x² - 2х)
у^/ = 0
e^x(x² - 2х) = 0
e^x ≠ 0 e^x > 0
x² - 2х = 0
x (x - 2) = 0
х=0 или х-2=0
х=0 или х=2
Знак производной на интервалах:
_______+_________-
_[__________o___________]___________o у^/
-5______.__ 0______.__ 1______.__ 2
_________
Наименьшее значение функции в точке х = 0
y(0)=(0−2)²e⁰ = 4

Ответ: 4