Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:
а₁ а₂ а₃ а₄ а₅ а₆ а₇ а₈ и b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆ b₇ b₈
(a₁+b₁) (a₂+b₂) (a₃+b₃) (a₄+b₄) (a₅+b₅) (a₆+b₆) (a₇+b₇)

а) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Во множествах а и b нет противоположный чисел ⇒ результат не может быть 0

б) Во множествах 5 нечетных чисел ⇒ на одной карточке попадутся 2 нечетных числа, которые в сумме дают четное. Поэтому произведение четно и не равно 1

Ч Ч Ч Н Н Н Н Н
Н Н Н Н Н Ч Ч Ч
(Ч четное, Н нечетное)

в) Во множествах 5 нечетных чисел ⇒ хотя бы на двух нечетные числа, которые в сумме - четные. Всё произведение делится на 4. Наименьшее целое число, которое делится на четыре 4. Оно получается при наборе чисел [1; -2], [-2; 1], [-3; 5], [5; -3], [-6; 7], [7; -6], [-8; 9], [9; -8]

Ответ: а) нет б) нет в) 4

РЕШЕНИЕ:

а - двузначное число, b - трехзначное

1000 а + b = N a b
b = N a b - 1000 a
b делится на а . Пусть b = ka
b = N a b - 1000 a
k a = N a k a - 1000 a делим обе части на а
k = N k a - 1000
N k a - k = 1000
k ( N a - 1) = 2³ ∙ 5³

А) N = 2
k ( 2 a - 1) = 2³ ∙ 5³
2 a - 1 степень 5 (25, 125, 625)
10 ≤ а < 100 (а двузначное число)
20 ≤ 2а < 200
19 ≤ 2а - 1 < 199 данному интервалу принадлежат 25 и 125
Проверка: 2а - 1 = 25, а = 13
1000 а + b = N a b
13 000 + b = 26 b
25 b = 13 000
b = 520
N может равняться 2

б) N = 10
k ( 10 a - 1) = 2³ ∙ 5³
10 a - 1 степень 5 (25, 125, 625)
10 ≤ а < 100 (а двузначное число)
100 ≤ 10а < 1000
99 ≤ 10а - 1 < 999 данному интервалу принадлежат 125 и 625
Проверка:
10а - 1 = 125, а = 12,5 дробное
10а - 1 = 625, а = 62,5 дробное
N не может равняться 10

в)
1000 а + b = N a b

N = 1000 а + b
_____ ab

N = 1000 + 1
_____ b___ а

а ≥ 10 двузначное число, b ≥ 100 - трехзначное

N ≤ 1000 + 1
___ 100__ 10

N ≤ 10,1

N не может равняться 10

Пусть N = 9
k ( 9 a - 1) = 2³ ∙ 5³
9 a - 1 степень 5 (25, 125, 625)
10 ≤ а < 100 (а двузначное число)
90 ≤ 9а < 900
89 ≤ 9а - 1 < 899 данному интервалу принадлежат 125 и 625
Проверка: 9а - 1 = 125, а = 14
1000 а + b = N a b
14 000 + b = 126 b
125 b = 14 000
b = 112
N может равняться 9 и это максимальное число

Ответ: а) да б) нет в) 9

РЕШЕНИЕ:

В театр ходило m1 мальчиков и d1 девочек m1 ≤4/13 (m1+d1)
В кино ходило m2 мальчиков и d2 девочек m2 ≤ 2/5 (m2+d2)

13 m1 ≤4 (m1+d1)
5 m2 ≤ 2 (m2+d2)

13 m1 - 4 m1 ≤ 4 d1
5 m2 - 2m2 ≤ 2 d2

9 m1 ≤ 4 d1
3 m2 ≤ 2 d2 Умножим на 3

9 m1 ≤ 4 d1 ≤ 4 d d - общее количество девочек
9 m2 ≤ 6 d2 ≤ 6 d

Сложим неравенства

9(m1 + m2) ≤ 10 d

А) Может ли m1 + m2 = 10 ?

9 ∙ 10 ≤ 10 d

9 ≤ d

Такое возможно, если количество девочек будет равно 10.

9 m1 ≤ 4 d
3 m2 ≤ 2 d

9 m1 ≤ 40 ⇒ m1= 2, d=10
3 m2 ≤ 20 ⇒ m2 = 6, d=10

Б) 9(m1 + m2) ≤ 10 d

m - общее количество мальчиков

9 m ≤ 10 d

m ≤ d

Наибольшее количество, когда m = d
m = 20 : 2 = 10

в) 9 m ≤ 10 d

d ≥ 9/10 m

Наименьшая доля 9/(9+10) = 9/19

Ответ: a) да б) 10 в) 9/19