Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

а) Решите уравнение
2 + 2cos ( π — 2x) + √8 sin x = √6 + √12 sin x

Упростим cos ( π — 2x) = — cos 2x = — (1 — 2sin²x)

2 + 2(— (1 — 2sin²x)) + √8 sin x = √6 + √12 sin x

2 — 2 + 4 sin²x + √8 sin x —√6 — √12 sin x = 0

4 sin²x + √8 sin x —√6 — √12 sin x = 0

4 sin²x + ( √8 — √12) sin x —√6 = 0

D = ( √8 — √12)² — 4 ∙ 4 ∙(—√6) = 8 — 2 ∙ √8 ∙ √12 + 12 + 16√6 = 20 — 2 ∙ 2√2 ∙ 2√3 + 16√6 = 20 + 8√6

sin x = — ( √8 — √12) ± √(20 + 8√6) / 8 = — ( 2√2 — 2 √3) ± √4(5 + 2√6) / 8 = — 4( √2 — √3) ± 2( √2 + √3) / 8 = — (√2 — √3) ± ( √2 + √3) / 4

sin x = — (√2 — √3) — ( √2 + √3) / 4 = — √2 / 2
sin x = — (√2 — √3) + ( √2 + √3) / 4 = √3 / 2

sin x = — √2 / 2 ⇒ x = π /3 + 2 π k, x = 2π /3 + 2 π k, k ∈ Z
sin x = √3 / 2 ⇒ x = π /4 + 2 π k, x = 5π /4 + 2 π k, k ∈ Z

Ответ a):
x = π /3 + 2 π k,
x = 2π /3 + 2 π k,
x = — π /4 + 2 π k,
x = 5π /4 + 2 π k, k ∈ Z


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ 3π; 9π/2]

x = π /3 + 2 π k
3 π ≤π /3 + 2 π k≤9π/2
18 π ≤ 2π +12 πk ≤27 π
16 π ≤ 12 πk ≤25 π
16 ≤ 12 k ≤25
16/12 ≤ k ≤25/12
Так как k целое, то k = 1, 2
Подставим:
k = 1 : х = π /3 + 2 π k = π / 3 + 2 π = 7 π / 3 ∉ [ 3π; 9π/2]
k = 2 : х = π /3 + 2 π k = π / 3 + 4 π =13 π / 3 ∈ [ 3π; 9π/2]

x = 2π /3 + 2 π k
3 π ≤2π /3 + 2 π k≤9π/2
18 π ≤ 4π +12 πk ≤27 π
14 π ≤ 12 πk ≤23 π
14 ≤ 12 k ≤23
14/12 ≤ k ≤23/12
Так как k целое, то k = 1
Подставим:
k = 1 : х = 2π /3 + 2 π k = 2π / 3 + 2 π = 8 π / 3 ∉ [ 3π; 9π/2]

x = — π /4 + 2 π k
3 π ≤ — π /4 + 2 π k≤9π/2
12 π ≤ — π +8 πk ≤18 π
13 π ≤ 8 πk ≤19 π
13 ≤ 8 k ≤19
13/8 ≤ k ≤19/8
Так как k целое, то k = 1, 2
Подставим:
k = 1 : х = — π /4 + 2 π k = — π / 4 + 2 π = 7 π / 4 ∉ [ 3π; 9π/2]
k = 2 : х = — π /4 + 2 π k = — π / 4 + 4 π =15 π / 4 ∈ [ 3π; 9π/2]

x = 5π /4 + 2 π k
3 π ≤ 5π /4 + 2 π k≤9π/2
12 π ≤ 5π +8 πk ≤18 π
7 π ≤ 8 πk ≤13 π
7 ≤ 8 k ≤13
7/8 ≤ k ≤13/8
Так как k целое, то k = 1
Подставим:
k = 1 : х = 5 π /4 + 2 π k = 5 π / 4 + 2 π = 13 π / 4 ∈ [ 3π; 9π/2]

Ответ б):
13 π / 3
15 π / 4
13 π / 4

РЕШЕНИЕ:

а) Решите уравнение
4 + 4cos ( 3π/2 — x) + √32 sin x = √8 + √72 sin x

Упростим cos ( 3π/2 — x) = — sin x

4 — 4sin x + 4√2 sin x = 2√2 + 6√2 sin x

4 — 4sin x + 4√2 sin x — 2√2 — 6√2 sin x = 0

(4 — 2√2) + ( — 4 + 4√2 — 6√2)sin x = 0

(4 — 2√2) + ( — 4 — 2√2)sin x = 0

sin x = (4 — 2√2) / ( 4 + 2√2)

sin x = (2 — √2) / ( 2 + √2)

Умножим числитель и знаменатель на 2 — √2

sin x = — (√2 — √3) — ( √2 + √3) / 4 = — √2 / 2
sin x = — (√2 — √3) + ( √2 + √3) / 4 = √3 / 2

sin x = — √2 / 2 ⇒ x = π /3 + 2 π k, x = 2π /3 + 2 π k, k ∈ Z
sin x = √3 / 2 ⇒ x = π /4 + 2 π k, x = 5π /4 + 2 π k, k ∈ Z

Ответ a):
x = π /3 + 2 π k,
x = 2π /3 + 2 π k,
x = — π /4 + 2 π k,
x = 5π /4 + 2 π k, k ∈ Z


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ 3π; 9π/2]

x = π /3 + 2 π k
3 π ≤π /3 + 2 π k≤9π/2
18 π ≤ 2π +12 πk ≤27 π
16 π ≤ 12 πk ≤25 π
16 ≤ 12 k ≤25
16/12 ≤ k ≤25/12
Так как k целое, то k = 1, 2
Подставим:
k = 1 : х = π /3 + 2 π k = π / 3 + 2 π = 7 π / 3 ∉ [ 3π; 9π/2]
k = 2 : х = π /3 + 2 π k = π / 3 + 4 π =13 π / 3 ∈ [ 3π; 9π/2]

x = 2π /3 + 2 π k
3 π ≤2π /3 + 2 π k≤9π/2
18 π ≤ 4π +12 πk ≤27 π
14 π ≤ 12 πk ≤23 π
14 ≤ 12 k ≤23
14/12 ≤ k ≤23/12
Так как k целое, то k = 1
Подставим:
k = 1 : х = 2π /3 + 2 π k = 2π / 3 + 2 π = 8 π / 3 ∉ [ 3π; 9π/2]

x = — π /4 + 2 π k
3 π ≤ — π /4 + 2 π k≤9π/2
12 π ≤ — π +8 πk ≤18 π
13 π ≤ 8 πk ≤19 π
13 ≤ 8 k ≤19
13/8 ≤ k ≤19/8
Так как k целое, то k = 1, 2
Подставим:
k = 1 : х = — π /4 + 2 π k = — π / 4 + 2 π = 7 π / 4 ∉ [ 3π; 9π/2]
k = 2 : х = — π /4 + 2 π k = — π / 4 + 4 π =15 π / 4 ∈ [ 3π; 9π/2]

x = 5π /4 + 2 π k
3 π ≤ 5π /4 + 2 π k≤9π/2
12 π ≤ 5π +8 πk ≤18 π
7 π ≤ 8 πk ≤13 π
7 ≤ 8 k ≤13
7/8 ≤ k ≤13/8
Так как k целое, то k = 1
Подставим:
k = 1 : х = 5 π /4 + 2 π k = 5 π / 4 + 2 π = 13 π / 4 ∈ [ 3π; 9π/2]

Ответ б):
13 π / 3
15 π / 4
13 π / 4

Решение:

1 + (-cos x) + √3 sin x = 0
1 - cos x + √3 sin x = 0
√3 sin x - cos x = -1
Разделим на 2:
(√3/2) sin x - (1/2) cos x = -1/2
sin x cos(π/6) - cos x sin(π/6) = -1/2
sin(x - π/6) = -1/2
x - π/6 = (-1)ⁿ * (-π/6) + πn, n ∈ Z
x = π/6 + (-1)ⁿ * (-π/6) + πn
x = π/6 - (-1)ⁿ * (π/6) + πn

Для четных n: n=2k ⇒ (-1)ⁿ = 1 ⇒ x = π/6 - π/6 + 2πk = 2πk
Для нечетных n: n=2k+1 ⇒ (-1)ⁿ = -1 ⇒ x = π/6 - (-π/6) + π(2k+1) = π/6 + π/6 + 2πk + π = π/3 + 2πk + π = π/3 + π + 2πk

Ответ а):
x = 2πk, k ∈ Z
x = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]

Для x = 2πk:
π ≤ 2πk ≤ 5π/2 ⇒ 1/2 ≤ k ≤ 5/4 ⇒ k=1 ⇒ x=2π

Для x = 4π/3 + 2πk:
π ≤ 4π/3 + 2πk ≤ 5π/2
3π/3 ≤ 4π/3 + 2πk ≤ 15π/6 ⇒ 2πk ≥ π - 4π/3 = -π/3 (всегда true для k≥0) и 2πk ≤ 15π/6 - 4π/3 = 15π/6 - 8π/6 = 7π/6 ⇒ k ≤ 7/12 ⇒ k=0 ⇒ x=4π/3 — но 4π/3 < π, не входит.
Проверим k=0: 4π/3 ≈ 4.19, π≈3.14 — подходит? 3.14 ≤ 4.19 ≤ 7.85 — да, входит.
k=-1: 4π/3 - 2π = 4π/3 - 6π/3 = -2π/3 — не входит.

Ответ б):
x = 2π, x = 4π/3

Решение:
а) Решите уравнение
1 + cos(π - x) + √3 sin x = 0
Упростим cos(π - x) = -cos x:

1 - cos x + √3 sin x = 0

√3 sin x - cos x = -1

Разделим обе части уравнения на 2:

(√3/2) sin x - (1/2) cos x = -1/2

Заметим, что √3/2 = cos(π/6), 1/2 = sin(π/6):

sin x cos(π/6) - cos x sin(π/6) = -1/2
sin(x - π/6) = -1/2

x - π/6 = (-1)^n * (-π/6) + πn, n ∈ Z
x = π/6 + (-1)^(n+1) * π/6 + πn, n ∈ Z

Рассмотрим два случая:

Если n четное: n = 2k
x = π/6 - π/6 + 2πk = 2πk, k ∈ Z

Если n нечетное: n = 2k + 1
x = π/6 + π/6 + π(2k + 1) = π/3 + 2πk + π = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z

Ответ а):
x = 2πk, k ∈ Z
x = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]

Для серии x = 2πk:
π ≤ 2πk ≤ 5π/2
1/2 ≤ k ≤ 5/4
k = 1 ⇒ x = 2π

Для серии x = 4π/3 + 2πk:
π ≤ 4π/3 + 2πk ≤ 5π/2
При k = 0: x = 4π/3 ≈ 4.19 ∈ [π; 5π/2] = [3.14; 7.85]
При k = 1: x = 4π/3 + 2π = 10π/3 ≈ 10.47 > 7.85
При k = -1: x = 4π/3 - 2π = -2π/3 ≈ -2.09 < π

Ответ б):
x = 2π, x = 4π/3