Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:
1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x + 9 > 0 ⇒ x > -9
Заданный отрезок [−8,5; 0] полностью входит в область определения.

2. Упростим функцию, используя свойство логарифма:
y = ln(x+9)⁵ − 5x = 5⋅ln(x+9) − 5x

3. Найдем производную функции:
y′ = 5/(x+9) − 5

4. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
5/(x+9) − 5 = 0
5/(x+9) = 5
1/(x+9) = 1
x + 9 = 1
x = -8

Точка x = -8 принадлежит отрезку [−8,5; 0].

5. Вычислим значения функции:

В критической точке: x = -8
y(-8) = 5⋅ln(1) − 5⋅(-8) = 0 + 40 = 40

На левом конце отрезка: x = -8,5
y(-8,5) = 5⋅ln(0,5) − 5⋅(-8,5) = 5⋅(-0,6931) + 42,5 = -3,4655 + 42,5 = 39,0345

На правом конце отрезка: x = 0
y(0) = 5⋅ln(9) − 0 = 5⋅2,1972 = 10,986

6. Сравним полученные значения:
y(-8) = 40 - наибольшее значение
y(-8,5) ≈ 39,0345
y(0) ≈ 10,986

Ответ: 40

РЕШЕНИЕ:
1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x > 0
Таким образом, функция определена при x ∈ (0; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = 3,5x² − 29x + 30⋅lnx + 67
y′ = 7x − 29 + 30/x

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
7x − 29 + 30/x = 0
Умножим обе части на x (помня, что x > 0):
7x² − 29x + 30 = 0

4. Решим квадратное уравнение:
D = 29² − 4⋅7⋅30 = 841 − 840 = 1
x = (29 ± 1)/(2⋅7) = (29 ± 1)/14
x₁ = (29 − 1)/14 = 28/14 = 2
x₂ = (29 + 1)/14 = 30/14 = 15/7 ≈ 2,1429

Оба корня принадлежат области определения.

5. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (7x² − 29x + 30)/x = ((x−2)(7x−15))/x

Знаменатель x > 0 при x ∈ (0; +∞).

При x ∈ (0; 2): (x−2) < 0, (7x−15) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x ∈ (2; 15/7): (x−2) > 0, (7x−15) < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (15/7; +∞): (x−2) > 0, (7x−15) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с плюса на минус при x = 2 и с минуса на плюс при x = 15/7.

Следовательно:

x = 2 — точка максимума

x = 15/7 — точка минимума

Ответ: 2

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x + 5 > 0 ⇒ x > -5
Заданный отрезок [−4,5; 0] полностью входит в область определения.

2. Упростим функцию, используя свойство логарифма:
y = 9x − ln(x+5)⁹ = 9x − 9⋅ln(x+5)

3. Найдем производную функции:
y′ = 9 − 9/(x+5)

4. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
9 − 9/(x+5) = 0
9/(x+5) = 9
1/(x+5) = 1
x + 5 = 1
x = -4

Точка x = -4 принадлежит отрезку [−4,5; 0].

5. Вычислим значения функции:

В критической точке: x = -4
y(-4) = 9⋅(-4) − 9⋅ln(1) = -36 − 0 = -36

На левом конце отрезка: x = -4,5
y(-4,5) = 9⋅(-4,5) − 9⋅ln(0,5) = -40,5 − 9⋅(-0,6931) = -40,5 + 6,2379 = -34,2621

На правом конце отрезка: x = 0
y(0) = 0 − 9⋅ln(5) = -9⋅1,6094 = -14,4846

6. Сравним полученные значения:
y(-4) = -36 - наименьшее значение
y(-4,5) ≈ -34,2621
y(0) ≈ -14,4846

Ответ: — 36

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x − 7 > 0 ⇒ x > 7
Таким образом, функция определена при x ∈ (7; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = 3x − 3⋅ln(x−7) − 8
y′ = 3 − 3/(x−7)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3 − 3/(x−7) = 0
3/(x−7) = 3
1/(x−7) = 1
x − 7 = 1
x = 8

4. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (3(x−7) − 3)/(x−7) = (3x − 21 − 3)/(x−7) = (3x − 24)/(x−7) = 3(x − 8)/(x−7)

Знаменатель (x−7) > 0 при x ∈ (7; +∞).

Числитель: 3(x − 8)

При x ∈ (7; 8): x − 8 < 0 ⇒ числитель отрицательный ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (8; +∞): x − 8 > 0 ⇒ числитель положительный ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, x = 8 — это точка минимума.

Ответ: 8