Учебно-методические комплексы

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x + 7 > 0 ⇒ x > -7
Заданный отрезок [−6,5; 0] полностью входит в область определения.

2. Найдем производную функции:
y = 9ln(x+7) − 9x + 4
y′ = 9/(x+7) − 9

3. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
9/(x+7) − 9 = 0
9/(x+7) = 9
1/(x+7) = 1
x + 7 = 1
x = -6

Точка x = -6 принадлежит отрезку [−6,5; 0].

4. Вычислим значения функции:

В критической точке: x = -6
y(-6) = 9ln(1) − 9·(-6) + 4 = 0 + 54 + 4 = 58

На левом конце отрезка: x = -6,5
y(-6,5) = 9ln(0,5) − 9·(-6,5) + 4 = 9·(-0,693) + 58,5 + 4 ≈ -6,237 + 62,5 = 56,263

На правом конце отрезка: x = 0
y(0) = 9ln(7) − 0 + 4 = 9·1,9459 + 4 ≈ 17,513 + 4 = 21,513

5. Сравним полученные значения:
y(-6) = 58 - наибольшее значение
y(-6,5) ≈ 56,263
y(0) ≈ 21,513

Ответ: 58

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x + 11 > 0 ⇒ x > -11
Заданный отрезок [−10,5; 0] полностью входит в область определения.

2. Найдем производную функции:
y = 9x − 9ln(x+11) + 7
y′ = 9 − 9/(x+11)

3. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
9 − 9/(x+11) = 0
9/(x+11) = 9
1/(x+11) = 1
x + 11 = 1
x = -10

Точка x = -10 принадлежит отрезку [−10,5; 0].

4. Вычислим значения функции:

В критической точке: x = -10
y(-10) = 9·(-10) − 9ln(1) + 7 = -90 − 0 + 7 = -83

На левом конце отрезка: x = -10,5
y(-10,5) = 9·(-10,5) − 9ln(0,5) + 7 = -94,5 − 9·(-0,6931) + 7 = -94,5 + 6,238 + 7 = -81,262

На правом конце отрезка: x = 0
y(0) = 0 − 9ln(11) + 7 = -9·2,3979 + 7 = -21,581 + 7 = -14,581

5. Сравним полученные значения:
y(-10) = -83 - наименьшее значение
y(-10,5) ≈ -81,262
y(0) ≈ -14,581

Ответ: -83

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x > 0
Таким образом, функция определена при x ∈ (0; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = 0,5x² − 21x + 110⋅lnx + 43
y′ = x − 21 + 110/x

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
x − 21 + 110/x = 0
Умножим обе части на x (помня, что x > 0):
x² − 21x + 110 = 0

4. Решим квадратное уравнение:
D = 21² − 4⋅1⋅110 = 441 − 440 = 1
x = (21 ± 1)/2
x₁ = (21 − 1)/2 = 10
x₂ = (21 + 1)/2 = 11

Оба корня принадлежат области определения.

5. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (x² − 21x + 110)/x = ((x−10)(x−11))/x

Знаменатель x > 0 при x ∈ (0; +∞).

При x ∈ (0; 10): (x−10) < 0, (x−11) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x ∈ (10; 11): (x−10) > 0, (x−11) < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (11; +∞): (x−10) > 0, (x−11) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с плюса на минус при x = 10 и с минуса на плюс при x = 11.

Следовательно:

x = 10 — точка максимума

x = 11 — точка минимума

Ответ: 10

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x + 3 > 0 ⇒ x > -3
Таким образом, функция определена при x ∈ (-3; +∞).

2. Упростим функцию, используя свойство логарифма:
y = 5x − ln(x+3)⁵ + 6 = 5x − 5⋅ln(x+3) + 6

3. Найдем производную функции:
y′ = 5 − 5⋅(1/(x+3)) = 5 − 5/(x+3)

4. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
5 − 5/(x+3) = 0
5/(x+3) = 5
1/(x+3) = 1
x + 3 = 1
x = -2

5. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (5(x+3) − 5)/(x+3) = (5x + 15 − 5)/(x+3) = (5x + 10)/(x+3) = 5(x + 2)/(x+3)

Знаменатель (x+3) > 0 при x ∈ (-3; +∞).

Числитель: 5(x + 2)

При x ∈ (-3; -2): x + 2 < 0 ⇒ числитель отрицательный ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (-2; +∞): x + 2 > 0 ⇒ числитель положительный ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, x = -2 — это точка минимума.

Ответ: -2