Учебно-методические комплексы

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x + 3 > 0 ⇒ x > -3
Таким образом, функция определена при x ∈ (-3; +∞).

2. Упростим функцию, используя свойство логарифма:
y = ln(x+3)⁷ − 7x − 9 = 7⋅ln(x+3) − 7x − 9

3. Найдем производную функции:
y′ = 7⋅(1/(x+3)) − 7 = 7/(x+3) − 7

4. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
7/(x+3) − 7 = 0
7/(x+3) = 7
1/(x+3) = 1
x + 3 = 1
x = -2

5. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (7 − 7(x+3))/(x+3) = (7 − 7x − 21)/(x+3) = (-7x − 14)/(x+3) = -7(x + 2)/(x+3)

Знаменатель (x+3) > 0 при x ∈ (-3; +∞).

Множитель -7 всегда отрицательный.

Числитель: (x + 2)

При x ∈ (-3; -2): x + 2 < 0 ⇒ числитель отрицательный ⇒ y′ = (-)⋅(-)/(+) = + (функция возрастает)

При x ∈ (-2; +∞): x + 2 > 0 ⇒ числитель положительный ⇒ y′ = (-)⋅(+)/(+) = - (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, x = -2 — это точка максимума.

Ответ: -2

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x − 2 > 0 ⇒ x > 2
Таким образом, функция определена при x ∈ (2; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = ln(x−2) − 5x + 13
y′ = 1/(x−2) − 5

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
1/(x−2) − 5 = 0
1/(x−2) = 5
x − 2 = 1/5
x = 2 + 1/5 = 11/5 = 2,2

4. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (1 − 5(x−2))/(x−2) = (1 − 5x + 10)/(x−2) = (11 − 5x)/(x−2)

Знаменатель (x−2) > 0 при x ∈ (2; +∞).

Числитель: 11 − 5x

При x ∈ (2; 11/5): 11 − 5x > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x ∈ (11/5; +∞): 11 − 5x < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, x = 11/5 — это точка максимума.

Ответ: 2,2 (или 11/5)

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x − 4 > 0 ⇒ x > 4
Таким образом, функция определена при x ∈ (4; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = 9⋅ln(x−4) − 9x − 7
y′ = 9⋅(1/(x−4)) − 9 = 9/(x−4) − 9

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
9/(x−4) − 9 = 0
9/(x−4) = 9
1/(x−4) = 1
x − 4 = 1
x = 5

4. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (9 − 9(x−4))/(x−4) = (9 − 9x + 36)/(x−4) = (45 − 9x)/(x−4) = 9(5 − x)/(x−4)

Знаменатель (x−4) > 0 при x ∈ (4; +∞).

Числитель: 9(5 − x)

При x ∈ (4; 5): 5 − x > 0 ⇒ числитель положительный ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x ∈ (5; +∞): 5 − x < 0 ⇒ числитель отрицательный ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, x = 5 — это точка максимума.

Ответ: 5

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x − 5 > 0 ⇒ x > 5
Таким образом, функция определена при x ∈ (5; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = 10x − ln(x−5) + 3
y′ = 10 − 1/(x−5)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
10 − 1/(x−5) = 0
1/(x−5) = 10
x − 5 = 1/10
x = 5 + 1/10 = 51/10 = 5,1

4. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (10(x−5) − 1)/(x−5) = (10x − 50 − 1)/(x−5) = (10x − 51)/(x−5)

Знаменатель (x−5) > 0 при x ∈ (5; +∞).

Числитель: 10x − 51

При x ∈ (5; 5,1): 10x − 51 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (5,1; +∞): 10x − 51 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, x = 5,1 — это точка минимума.

Ответ: 5,1 (или 51/10)