Учебно-методические комплексы

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
12x > 0 ⇒ x > 0
Заданный отрезок [1/24; 5/24] полностью входит в область определения.

2. Найдем производную функции:
y = 12x − ln(12x) + 4
y′ = 12 − 1/x (производная от ln(12x) равна 1/x)

3. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
12 − 1/x = 0
1/x = 12
x = 1/12

Точка x = 1/12 принадлежит отрезку [1/24; 5/24], так как:
1/24 ≈ 0,0417, 1/12 ≈ 0,0833, 5/24 ≈ 0,2083

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

В критической точке: x = 1/12
y(1/12) = 12·(1/12) − ln(1) + 4 = 1 − 0 + 4 = 5

На левом конце отрезка: x = 1/24
y(1/24) = 12·(1/24) − ln(0,5) + 4 = 0,5 − (−0,6931) + 4 = 0,5 + 0,6931 + 4 = 5,1931

На правом конце отрезка: x = 5/24
y(5/24) = 12·(5/24) − ln(2,5) + 4 = 2,5 − 0,9163 + 4 = 5,5837

5. Сравним полученные значения:
y(1/12) = 5 - наименьшее значение
y(1/24) ≈ 5,1931
y(5/24) ≈ 5,5837

Ответ: 5

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x − 2 > 0 ⇒ x > 2
Таким образом, функция определена при x ∈ (2; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = 10⋅ln(x−2) − 10x + 11
y′ = 10/(x−2) − 10

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
10/(x−2) − 10 = 0
10/(x−2) = 10
1/(x−2) = 1
x − 2 = 1
x = 3

4. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (10 − 10(x−2))/(x−2) = (10 − 10x + 20)/(x−2) = (30 − 10x)/(x−2) = 10(3 − x)/(x−2)

Знаменатель (x−2) > 0 при x ∈ (2; +∞).

Числитель: 10(3 − x)

При x ∈ (2; 3): 3 − x > 0 ⇒ числитель положительный ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x ∈ (3; +∞): 3 − x < 0 ⇒ числитель отрицательный ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, x = 3 — это точка максимума.

Ответ: 3

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x − 7 > 0 ⇒ x > 7
Таким образом, функция определена при x ∈ (7; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = ln(x−7) − 2x − 3
y′ = 1/(x−7) − 2

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
1/(x−7) − 2 = 0
1/(x−7) = 2
x − 7 = 1/2
x = 7 + 1/2 = 15/2 = 7,5

4. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (1 − 2(x−7))/(x−7) = (1 − 2x + 14)/(x−7) = (15 − 2x)/(x−7)

Знаменатель (x−7) > 0 при x ∈ (7; +∞).

Числитель: 15 − 2x

При x ∈ (7; 7,5): 15 − 2x > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x ∈ (7,5; +∞): 15 − 2x < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, x = 7,5 — это точка максимума.

7,5 (или 15/2)

Ответ: 7,5

РЕШЕНИЕ:
1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x > 0
Таким образом, функция определена при x ∈ (0; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = x² − 28x + 96⋅lnx + 31
y′ = 2x − 28 + 96/x

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
2x − 28 + 96/x = 0
Умножим обе части на x (помня, что x > 0):
2x² − 28x + 96 = 0
Разделим на 2:
x² − 14x + 48 = 0

4. Решим квадратное уравнение:
D = 14² − 4⋅1⋅48 = 196 − 192 = 4
x = (14 ± 2)/2
x₁ = (14 − 2)/2 = 6
x₂ = (14 + 2)/2 = 8

Оба корня принадлежат области определения.

5. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (2x² − 28x + 96)/x = 2(x² − 14x + 48)/x = 2((x−6)(x−8))/x

Знаменатель x > 0 при x ∈ (0; +∞).

При x ∈ (0; 6): (x−6) < 0, (x−8) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x ∈ (6; 8): (x−6) > 0, (x−8) < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (8; +∞): (x−6) > 0, (x−8) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с плюса на минус при x = 6 и с минуса на плюс при x = 8.

Следовательно:

x = 6 — точка максимума

x = 8 — точка минимума

Ответ: 8