Учебно-методические комплексы

Ребро AB основания ABCD правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равно 2√6, а высота AA1равна 2√7. На рёбрах AB и C1D1 отметили точки N и K соответственно так, что N− середина ребра, а C1K : KD1 = 1 : 2. Через точки N и K параллельно прямой BD провели плоскость α.
a) Докажите, что прямая CA1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке C и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью α.

Ребро AB основания ABCD правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равно 2√6, а высота AA1равна 2√5. На рёбрах AB и C1D1 отметили точки N и K соответственно так, что N - середина ребра, а C1K : KD1 = 2 : 1. Через точки N и K параллельно прямой BD провели плоскость α.
a) Докажите, что прямая CA1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке C и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью α.

В пирамиде SABCD с высотой SA основанием является квадрат ABCD, точка K середина ребра SB. Прямая DK пересекается с плоскостью SAC в точке N.
a) Докажите, что прямая a, проходящая через точку N параллельно прямой SC, делит ребро SA в отношении 1:2.
б) Найдите угол между прямыми DK и SC, если AB = 2√2, SA = 3.

В пирамиде SABCD с высотой SA основанием является квадрат ABCD, точка K− середина ребра SB. Прямая DK пересекается с плоскостью SAC в точке N.
a) Докажите, что прямая a, проходящая через точку N параллельно прямой SC, делит диагональ основания AC в отношении 1 : 2.
б) Найдите угол между прямыми DK и SC, если AB = 2√3, SA = 6.