Учебно-методические комплексы

Окружность с центром в точке O радиуса R вписана в угол с вершиной в точке B, равный 120^∘.
Точки A и C - точки касания угла и окружности, а AE и CD - диаметры окружности.
а) Докажите, что AD = 3BC.
б) Прямые BD и BE вторично пересекают окружность в точках N и P соответственно. Найдите PN, если R = 13.

Окружность с центром в точке O радиуса R вписана в угол с вершиной в точке В, равный 60^∘
Точки A и C - точки касания угла и окружности, а AE и CD - диаметры окружности.
a) Докажите, что AB = DE.
б) Прямые BD и BE вторично пересекают окружность в точках N и P соответственно. Найдите площадь четырёхугольника DEP N, если R = 7√3.

В равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием AD вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон AB, BC и AD, вторая - сторон BC, CD и AD, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны CD с одной из окружностей радиуса r делит сторону CD в отношении 1 : 9.
а) Докажите, что r = 0,3 · CD.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если AB = 20.

В равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием AD вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон AB, BC и AD, вторая - сторон BC, CD и AD, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны CD с одной из окружностей радиуса r делит сторону CD в отношении 1 : 4.
a) Докажите, что r = 0,4 · CD.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если AB = 30.