Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 256 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 256 ≥ 256 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

2. Найдем производную функции:
y = -x / (x² + 256)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = -x, v = x² + 256.

Найдем производные:

u′ = -1

v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(-1)(x² + 256) - (-x)(2x)] / (x² + 256)² = [-(x² + 256) + 2x²] / (x² + 256)² = (-x² - 256 + 2x²) / (x² + 256)² = (x² - 256) / (x² + 256)²

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(x² - 256) / (x² + 256)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
x² - 256 = 0
x² = 256
x = ±16

4. Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (x² - 256) / (x² + 256)²

Знаменатель (x² + 256)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (x² - 256).

При x ∈ (-∞; -16): x² > 256 ⇒ x² - 256 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x ∈ (-16; 16): x² < 256 ⇒ x² - 256 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (16; +∞): x² > 256 ⇒ x² - 256 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

5. Определим точки экстремума:

При переходе через x = -16 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -16 — точка максимума.

При переходе через x = 16 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 16 — точка минимума.

Ответ: 16

РЕШЕНИЕ:

Область определения: x ≠ 0

Производная:
y = x + 1/x ⇒ y′ = 1 - 1/x²

Критические точки: 1 - 1/x² = 0 ⇒ x = ±1

Анализ знака:
При x < -1: y′ > 0
При -1 < x < 0: y′ < 0
При 0 < x < 1: y′ < 0
При x > 1: y′ > 0

x = -1 — точка максимума.

Ответ: — 1

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 49 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 49 ≥ 49 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x / (x² + 49)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = x, v = x² + 49.

Найдем производные:
u′ = 1
v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(1)(x² + 49) - (x)(2x)] / (x² + 49)² = [x² + 49 - 2x²] / (x² + 49)² = (-x² + 49) / (x² + 49)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(-x² + 49) / (x² + 49)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
-x² + 49 = 0
x² = 49
x = ±7

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (-x² + 49) / (x² + 49)²

Знаменатель (x² + 49)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (-x² + 49).

При x ∈ (-∞; -7): x² > 49 ⇒ -x² + 49 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При x ∈ (-7; 7): x² < 49 ⇒ -x² + 49 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При x ∈ (7; +∞): x² > 49 ⇒ -x² + 49 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -7 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -7 — точка минимума.
При переходе через x = 7 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 7 — точка максимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: -7

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 8 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 8 ≥ 8 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = - (2x) / (x² + 8) = -2x / (x² + 8)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = -2x, v = x² + 8.

Найдем производные:
u′ = -2
v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(-2)(x² + 8) - (-2x)(2x)] / (x² + 8)² = [-2x² - 16 + 4x²] / (x² + 8)² = (2x² - 16) / (x² + 8)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(2x² - 16) / (x² + 8)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
2x² - 16 = 0
2x² = 16
x² = 8
x = ±2√2

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (2x² - 16) / (x² + 8)²

Знаменатель (x² + 8)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (2x² - 16).

При x ∈ (-∞; -2√2): x² > 8 ⇒ 2x² - 16 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При x ∈ (-2√2; 2√2): x² < 8 ⇒ 2x² - 16 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При x ∈ (2√2; +∞): x² > 8 ⇒ 2x² - 16 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -2√2 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -2√2 — точка максимума.
При переходе через x = 2√2 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 2√2 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -2√2