Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель (x + 3)² + 25 = 0 не имеет действительных корней (так как (x + 3)² ≥ 0, то (x + 3)² + 25 ≥ 25 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
Для удобства сделаем замену: u = x + 3, тогда y = u / (u² + 25)
y = u / (u² + 25)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = u, v = u² + 25.

Найдем производные:
u′ = 1
v′ = 2u

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(1)(u² + 25) - (u)(2u)] / (u² + 25)² = [u² + 25 - 2u²] / (u² + 25)² = (-u² + 25) / (u² + 25)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(-u² + 25) / (u² + 25)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
-u² + 25 = 0
u² = 25
u = ±5

Вернемся к переменной x:
x + 3 = ±5
x = 2 или x = -8

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (-u² + 25) / (u² + 25)²

Знаменатель (u² + 25)² > 0 при всех u, поэтому знак производной определяется знаком числителя (-u² + 25).

При u ∈ (-∞; -5): u² > 25 ⇒ -u² + 25 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При u ∈ (-5; 5): u² < 25 ⇒ -u² + 25 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При u ∈ (5; +∞): u² > 25 ⇒ -u² + 25 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Соответственно для x:
При x ∈ (-∞; -8): функция убывает
При x ∈ (-8; 2): функция возрастает
При x ∈ (2; +∞): функция убывает

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -8 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -8 — точка минимума.
При переходе через x = 2 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 2 — точка максимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: -8

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель (2x - 1)² + 36 = 0 не имеет действительных корней (так как (2x - 1)² ≥ 0, то (2x - 1)² + 36 ≥ 36 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
Для удобства сделаем замену: u = 2x - 1, тогда y = -u / (u² + 36)
y = -u / (u² + 36)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = -u, v = u² + 36.

Найдем производные:
u′ = -1
v′ = 2u

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(-1)(u² + 36) - (-u)(2u)] / (u² + 36)² = [-(u² + 36) + 2u²] / (u² + 36)² = (-u² - 36 + 2u²) / (u² + 36)² = (u² - 36) / (u² + 36)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(u² - 36) / (u² + 36)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
u² - 36 = 0
u² = 36
u = ±6

Вернемся к переменной x:
2x - 1 = ±6
2x = 7 или 2x = -5
x = 3,5 или x = -2,5

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (u² - 36) / (u² + 36)²

Знаменатель (u² + 36)² > 0 при всех u, поэтому знак производной определяется знаком числителя (u² - 36).

При u ∈ (-∞; -6): u² > 36 ⇒ u² - 36 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При u ∈ (-6; 6): u² < 36 ⇒ u² - 36 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При u ∈ (6; +∞): u² > 36 ⇒ u² - 36 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Соответственно для x:
При x ∈ (-∞; -2,5): функция возрастает
При x ∈ (-2,5; 3,5): функция убывает
При x ∈ (3,5; +∞): функция возрастает

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -2,5 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -2,5 — точка максимума.
При переходе через x = 3,5 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 3,5 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -2,5