Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 20 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 20 ≥ 20 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = (5x) / (x² + 20)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = 5x, v = x² + 20.

Найдем производные:
u′ = 5
v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(5)(x² + 20) - (5x)(2x)] / (x² + 20)² = [5x² + 100 - 10x²] / (x² + 20)² = (-5x² + 100) / (x² + 20)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(-5x² + 100) / (x² + 20)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
-5x² + 100 = 0
5x² = 100
x² = 20
x = ±2√5

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (-5x² + 100) / (x² + 20)²

Знаменатель (x² + 20)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (-5x² + 100).

При x ∈ (-∞; -2√5): x² > 20 ⇒ -5x² + 100 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При x ∈ (-2√5; 2√5): x² < 20 ⇒ -5x² + 100 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При x ∈ (2√5; +∞): x² > 20 ⇒ -5x² + 100 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -2√5 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -2√5 — точка минимума.
При переходе через x = 2√5 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 2√5 — точка максимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: -2√5

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 27 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 27 ≥ 27 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = - (3x) / (x² + 27) = -3x / (x² + 27)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = -3x, v = x² + 27.

Найдем производные:
u′ = -3
v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(-3)(x² + 27) - (-3x)(2x)] / (x² + 27)² = [-3x² - 81 + 6x²] / (x² + 27)² = (3x² - 81) / (x² + 27)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(3x² - 81) / (x² + 27)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
3x² - 81 = 0
3x² = 81
x² = 27
x = ±3√3

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (3x² - 81) / (x² + 27)²

Знаменатель (x² + 27)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (3x² - 81).

При x ∈ (-∞; -3√3): x² > 27 ⇒ 3x² - 81 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При x ∈ (-3√3; 3√3): x² < 27 ⇒ 3x² - 81 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При x ∈ (3√3; +∞): x² > 27 ⇒ 3x² - 81 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -3√3 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -3√3 — точка максимума.
При переходе через x = 3√3 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 3√3 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -3√3

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 18 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 18 ≥ 18 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = (2x) / (x² + 18)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = 2x, v = x² + 18.

Найдем производные:
u′ = 2
v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(2)(x² + 18) - (2x)(2x)] / (x² + 18)² = [2x² + 36 - 4x²] / (x² + 18)² = (-2x² + 36) / (x² + 18)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(-2x² + 36) / (x² + 18)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
-2x² + 36 = 0
2x² = 36
x² = 18
x = ±3√2

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (-2x² + 36) / (x² + 18)²

Знаменатель (x² + 18)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (-2x² + 36).

При x ∈ (-∞; -3√2): x² > 18 ⇒ -2x² + 36 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При x ∈ (-3√2; 3√2): x² < 18 ⇒ -2x² + 36 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При x ∈ (3√2; +∞): x² > 18 ⇒ -2x² + 36 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -3√2 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -3√2 — точка минимума.
При переходе через x = 3√2 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 3√2 — точка максимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: -3√2

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 64 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 64 ≥ 64 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = - (4x) / (x² + 64) = -4x / (x² + 64)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = -4x, v = x² + 64.

Найдем производные:
u′ = -4
v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(-4)(x² + 64) - (-4x)(2x)] / (x² + 64)² = [-4x² - 256 + 8x²] / (x² + 64)² = (4x² - 256) / (x² + 64)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(4x² - 256) / (x² + 64)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
4x² - 256 = 0
4x² = 256
x² = 64
x = ±8

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (4x² - 256) / (x² + 64)²

Знаменатель (x² + 64)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (4x² - 256).

При x ∈ (-∞; -8): x² > 64 ⇒ 4x² - 256 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При x ∈ (-8; 8): x² < 64 ⇒ 4x² - 256 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При x ∈ (8; +∞): x² > 64 ⇒ 4x² - 256 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -8 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -8 — точка максимума.
При переходе через x = 8 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 8 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -8