Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 12 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 12 ≥ 12 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = (3x) / (x² + 12)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = 3x, v = x² + 12.

Найдем производные:
u′ = 3
v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(3)(x² + 12) - (3x)(2x)] / (x² + 12)² = [3x² + 36 - 6x²] / (x² + 12)² = (-3x² + 36) / (x² + 12)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(-3x² + 36) / (x² + 12)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
-3x² + 36 = 0
3x² = 36
x² = 12
x = ±2√3

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (-3x² + 36) / (x² + 12)²

Знаменатель (x² + 12)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (-3x² + 36).

При x ∈ (-∞; -2√3): x² > 12 ⇒ -3x² + 36 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При x ∈ (-2√3; 2√3): x² < 12 ⇒ -3x² + 36 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При x ∈ (2√3; +∞): x² > 12 ⇒ -3x² + 36 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -2√3 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -2√3 — точка минимума.
При переходе через x = 2√3 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 2√3 — точка максимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: -2√3

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель x² + 100 = 0 не имеет действительных корней (так как x² ≥ 0, то x² + 100 ≥ 100 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = -x / (x² + 100)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = -x, v = x² + 100.

Найдем производные:
u′ = -1
v′ = 2x

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(-1)(x² + 100) - (-x)(2x)] / (x² + 100)² = [-(x² + 100) + 2x²] / (x² + 100)² = (-x² - 100 + 2x²) / (x² + 100)² = (x² - 100) / (x² + 100)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(x² - 100) / (x² + 100)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
x² - 100 = 0
x² = 100
x = ±10

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (x² - 100) / (x² + 100)²

Знаменатель (x² + 100)² > 0 при всех x, поэтому знак производной определяется знаком числителя (x² - 100).

При x ∈ (-∞; -10): x² > 100 ⇒ x² - 100 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При x ∈ (-10; 10): x² < 100 ⇒ x² - 100 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При x ∈ (10; +∞): x² > 100 ⇒ x² - 100 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -10 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -10 — точка максимума.
При переходе через x = 10 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 10 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -10

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель (x - 1)² + 9 = 0 не имеет действительных корней (так как (x - 1)² ≥ 0, то (x - 1)² + 9 ≥ 9 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
Для удобства сделаем замену: u = x - 1, тогда y = u / (u² + 9)
y = u / (u² + 9)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = u, v = u² + 9.

Найдем производные:
u′ = 1
v′ = 2u

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(1)(u² + 9) - (u)(2u)] / (u² + 9)² = [u² + 9 - 2u²] / (u² + 9)² = (-u² + 9) / (u² + 9)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(-u² + 9) / (u² + 9)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
-u² + 9 = 0
u² = 9
u = ±3

Вернемся к переменной x:
x - 1 = ±3
x = 4 или x = -2

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (-u² + 9) / (u² + 9)²

Знаменатель (u² + 9)² > 0 при всех u, поэтому знак производной определяется знаком числителя (-u² + 9).

При u ∈ (-∞; -3): u² > 9 ⇒ -u² + 9 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При u ∈ (-3; 3): u² < 9 ⇒ -u² + 9 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При u ∈ (3; +∞): u² > 9 ⇒ -u² + 9 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Соответственно для x:
При x ∈ (-∞; -2): функция убывает
При x ∈ (-2; 4): функция возрастает
При x ∈ (4; +∞): функция убывает

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -2 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -2 — точка минимума.
При переходе через x = 4 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 4 — точка максимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: -2

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Знаменатель (x + 2)² + 16 = 0 не имеет действительных корней (так как (x + 2)² ≥ 0, то (x + 2)² + 16 ≥ 16 > 0).
Таким образом, функция определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
Для удобства сделаем замену: u = x + 2, тогда y = -u / (u² + 16)
y = -u / (u² + 16)

Используем правило дифференцирования частного: (u/v)′ = (u′v - uv′) / v², где u = -u, v = u² + 16.

Найдем производные:
u′ = -1
v′ = 2u

Теперь найдем производную функции:
y′ = [(-1)(u² + 16) - (-u)(2u)] / (u² + 16)² = [-(u² + 16) + 2u²] / (u² + 16)² = (-u² - 16 + 2u²) / (u² + 16)² = (u² - 16) / (u² + 16)²

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(u² - 16) / (u² + 16)² = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
u² - 16 = 0
u² = 16
u = ±4

Вернемся к переменной x:
x + 2 = ±4
x = 2 или x = -6

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (u² - 16) / (u² + 16)²

Знаменатель (u² + 16)² > 0 при всех u, поэтому знак производной определяется знаком числителя (u² - 16).

При u ∈ (-∞; -4): u² > 16 ⇒ u² - 16 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)
При u ∈ (-4; 4): u² < 16 ⇒ u² - 16 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)
При u ∈ (4; +∞): u² > 16 ⇒ u² - 16 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Соответственно для x:
При x ∈ (-∞; -6): функция возрастает
При x ∈ (-6; 2): функция убывает
При x ∈ (2; +∞): функция возрастает

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -6 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -6 — точка максимума.
При переходе через x = 2 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 2 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -6