Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:
Область определения:
Аргумент логарифма должен быть положительным: x — 4 > 0 ⇒ x > 4
Таким образом, функция определена при x ∈ (4;+∞).

Найдем производную функции:
y = 9 ∙ ln(x — 4) — 9x — 7

y′ = 9 ∙ 1/(x — 4) — 9

y′ = 0

9 ∙ 1/(x — 4) — 9 = 0
9 ∙ 1/(x — 4) = 9
1/(x — 4) = 1
x — 4 = 1
x = 5

Проанализируем знак первой производной:

При x∈(4;5): x — 4 < 1 ⇒ 9/(x — 4) > 9 ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

При x > 5 : x — 4 > 1 ⇒ 9/(x — 4) < 9 ⇒ y' < 0 (функция убывает).

Следовательно, x = 5 — точка максимума.

Найдем значение функции в точке максимума:
y(5) = 9 ∙ ln(5 — 4) — 9 ∙ 5 — 7 = 9 ∙ 0 — 45 — 7 = — 52

Ответ: 5

Решение:
1. Область определения:
Аргумент логарифма должен быть положительным: x + 3 > 0 ⇒ x > -3
Таким образом, функция определена при x ∈ (-3; +∞).

2. Найдем производную функции:
y′ = 12 ∙ 1/(x+3) — 12

3. Приравняем производную к нулю:
12/(x+3) — 12 = 0
12/(x+3) = 12
1/(x+3) = 1
x + 3 = 1
x = -2

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (-3; -2): x + 3 < 1 ⇒ 12/(x+3) > 12 ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

При x > -2: x + 3 > 1 ⇒ 12/(x+3) < 12 ⇒ y' < 0 (функция убывает).

Производная меняет знак с + на -. Следовательно, x = -2 — точка максимума.

Ответ: -2

Решение:
1. Область определения: x + 6 > 0 ⇒ x > -6 ⇒ x ∈ (-6; +∞)

2. Производная:
y′ = 4 — 4 ∙ 1/(x+6)

3. Найдем критические точки:
4 — 4/(x+6) = 0
4/(x+6) = 4
1/(x+6) = 1
x + 6 = 1
x = -5

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (-6; -5): x+6 < 1 ⇒ 4/(x+6) > 4 ⇒ y' < 0 (функция убывает).

При x > -5: x+6 > 1 ⇒ 4/(x+6) < 4 ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

Производная меняет знак с - на +. Следовательно, x = -5 — точка минимума.

Ответ: -5

Решение:
1. Область определения:
8 — x > 0 ⇒ x < 8 ⇒ x ∈ (-∞; 8)

2. Производная:
y′ = 11 ∙ (-1)/(8-x) — 11 = -11/(8-x) — 11

3. Приравняем производную к нулю:
-11/(8-x) — 11 = 0
-11/(8-x) = 11
-1/(8-x) = 1
8 — x = -1
x = 9

Полученная точка x=9 не входит в область определения (9 < 8 — неверно). Значит, критических точек нет.

4. Анализ знака производной на всей ООЗ:
Возьмем любую точку из интервала, например, x = 0:
y'(0) = -11/(8-0) — 11 = -1.375 — 11 < 0
Производная отрицательна на всей области определения. Функция монотонно убывает на (-∞; 8).

Точек экстремума нет. Функция не имеет максимума или минимума на заданной области.

Ответ: нет точек максимума