Учебно-методические комплексы

Решение:
1. Область определения: x > 0 ⇒ x ∈ (0; +∞)

2. Производная:
y′ = 15/x — 3

3. Приравняем производную к нулю:
15/x — 3 = 0
15/x = 3
x = 5

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (0; 5): x < 5 ⇒ 15/x > 3 ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

При x > 5: x > 5 ⇒ 15/x < 3 ⇒ y' < 0 (функция убывает).

Производная меняет знак с + на -. Следовательно, x = 5 — точка максимума.

Ответ: 5

Решение:
1. Область определения:
x² — 8x + 20 > 0. Дискриминант D=64-80=-16<0, старший коэффициент 1>0, поэтому x ∈ R.

2. Производная:
y′ = 2 + 8 * (1/(x²-8x+20)) * (2x — 8) = 2 + (16(x-4))/(x²-8x+20)

3. Приравняем производную к нулю:
2 + (16(x-4))/(x²-8x+20) = 0
(16(x-4))/(x²-8x+20) = -2
16(x-4) = -2(x²-8x+20)
16x — 64 = -2x² + 16x — 40
2x² — 24 = 0
x² = 12
x = ±2√3 ≈ ±3.46

4. Анализ знака производной (ориентируемся на знак второго слагаемого, так как первое всегда +2):
Возьмем точку между корнями, например, x=4 (принадлежит ( -2√3; 2√3 )? 4 > 3.46, значит, нет):
Более надежно — определить знак на интервалах: (-∞; -2√3), (-2√3; 2√3), (2√3; +∞).
Подставим x=0 (попадает в интервал (-2√3; 2√3)): y'(0) = 2 + (16(-4))/(20) = 2 + (-64/20) = 2 — 3.2 < 0
Подставим x=5 (попадает в интервал (2√3; +∞)): y'(5) = 2 + (16(1))/(25-40+20)=2 + 16/5 > 0
Производная меняет знак с - на + в точке x = 2√3. Следовательно, x = 2√3 — точка минимума.

Ответ: 2√3

Решение:
1. Область определения:
4 — x > 0 ⇒ x < 4 ⇒ x ∈ (-∞; 4)

2. Производная:
y′ = 6 ∙ (-1)/(4-x) + 6 = -6/(4-x) + 6

3. Приравняем производную к нулю:
-6/(4-x) + 6 = 0
6/(4-x) = 6
1/(4-x) = 1
4 — x = 1
x = 3

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (-∞; 3): 4-x > 1 ⇒ 6/(4-x) < 6 ⇒ -6/(4-x) > -6 ⇒ y' = (> -6) + 6 > 0? Лучше численно: возьмем x=0: y'(0)= -6/4 +6 = -1.5+6=4.5>0.

При x ∈ (3; 4): 4-x < 1 ⇒ 6/(4-x) > 6 ⇒ -6/(4-x) < -6 ⇒ y' = (< -6) + 6 < 0. Возьмем x=3.5: y'(3.5)= -6/0.5 +6 = -12+6=-6<0.

Производная меняет знак с + на -. Следовательно, x = 3 — точка максимума.

Ответ: 3

Решение:
1. Область определения:
7x — 14 > 0 ⇒ 7x > 14 ⇒ x > 2 ⇒ x ∈ (2; +∞)

2. Производная:
y′ = 8 ∙ 7/(7x-14) — 8 = 56/(7(x-2)) — 8 = 8/(x-2) — 8

3. Приравняем производную к нулю:
8/(x-2) — 8 = 0
8/(x-2) = 8
1/(x-2) = 1
x — 2 = 1
x = 3

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (2; 3): x-2 < 1 ⇒ 8/(x-2) > 8 ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

При x > 3: x-2 > 1 ⇒ 8/(x-2) < 8 ⇒ y' < 0 (функция убывает).

Производная меняет знак с + на -. Следовательно, x = 3 — точка максимума.

Ответ: 3