Учебно-методические комплексы

Решение:
1. Область определения:
2x + 10 > 0 ⇒ 2x > -10 ⇒ x > -5 ⇒ x ∈ (-5; +∞)

2. Производная:
y′ = 10 — 5 ∙ 2/(2x+10) = 10 — 10/(2(x+5)) = 10 — 5/(x+5)

3. Приравняем производную к нулю:
10 — 5/(x+5) = 0
5/(x+5) = 10
1/(x+5) = 2
x + 5 = 1/2
x = -4.5

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (-5; -4.5): x+5 < 0.5 ⇒ 5/(x+5) > 10 ⇒ y' = 10 - (>10) < 0 (функция убывает).

При x > -4.5: x+5 > 0.5 ⇒ 5/(x+5) < 10 ⇒ y' = 10 - (<10) > 0 (функция возрастает).

Производная меняет знак с - на +. Следовательно, x = -4.5 — точка минимума.

Ответ: -4.5

Решение:
1. Область определения: x > 0 ⇒ x ∈ (0; +∞)

2. Производная:
y′ = 1/x — 4/x²

3. Приравняем производную к нулю:
1/x — 4/x² = 0
Умножим на x² ( x² > 0 ):
x — 4 = 0
x = 4

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (0; 4): x < 4 ⇒ 1/x > 1/4, но 4/x² > 4/16=1/4. Лучше привести к общему знаменателю: y' = (x — 4)/x². Знаменатель всегда положителен. Знак y' совпадает со знаком (x-4).

При x ∈ (0; 4): (x-4) < 0 ⇒ y' < 0 (функция убывает).

При x > 4: (x-4) > 0 ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

Производная меняет знак с - на +. Следовательно, x = 4 — точка минимума.

Ответ: 4

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x + 3 > 0 ⇒ x > -3
Таким образом, функция определена при x ∈ (-3; +∞).

2. Найдем производную функции:
y = 9x − 9⋅ln(x+3) + 4
y′ = 9 − 9⋅(1/(x+3)) = 9 − 9/(x+3)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
9 − 9/(x+3) = 0
9/(x+3) = 9
1/(x+3) = 1
x + 3 = 1
x = -2

4. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде: y′ = (9(x+3) − 9)/(x+3) = (9x + 27 − 9)/(x+3) = (9x + 18)/(x+3)

Знаменатель (x+3) > 0 при x ∈ (-3; +∞).

Числитель: 9x + 18 = 9(x + 2)

При x ∈ (-3; -2): x + 2 < 0 ⇒ числитель отрицательный ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (-2; +∞): x + 2 > 0 ⇒ числитель положительный ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, x = -2 — это точка минимума.

Ответ: -2

Решение:

1. Найдем область определения функции:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
x − 2 > 0 ⇒ x > 2
Таким образом, функция определена при x ∈ (2; +∞).

2. Упростим функцию, используя свойство логарифма:
y = 9x − ln(x−2)⁹ − 8 = 9x − 9⋅ln(x−2) − 8

3. Найдем производную функции:
y′ = 9 − 9⋅(1/(x−2)) = 9 − 9/(x−2)

4. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
9 − 9/(x−2) = 0
9/(x−2) = 9
1/(x−2) = 1
x − 2 = 1
x = 3

5. Проанализируем знак производной:
Представим производную в виде:
y′ = (9(x−2) − 9)/(x−2) = (9x − 18 − 9)/(x−2) = (9x − 27)/(x−2) = (9(x − 3))/(x−2)

Знаменатель (x−2) > 0 при x ∈ (2; +∞).

Числитель: 9(x − 3)

При x ∈ (2; 3): x − 3 < 0 ⇒ числитель отрицательный ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x ∈ (3; +∞): x − 3 > 0 ⇒ числитель положительный ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, x = 3 — это точка минимума.

Ответ: 3