Учебно-методические комплексы

Решение:
1. Область определения: x > 0 ⇒ x ∈ (0; +∞)

2. Производная:
y′ = 4x — 4/x

3. Найдем критические точки:
4x — 4/x = 0
4x = 4/x
x² = 1
x = ±1
Из области определения берем только x = 1.

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (0; 1): x² < 1 ⇒ 4x < 4/x ⇒ y' < 0 (функция убывает).

При x > 1: x² > 1 ⇒ 4x > 4/x ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

Производная меняет знак с - на +. Следовательно, x = 1 — точка минимума.

Ответ: 1

Решение:
1. Область определения:
2x + 1 > 0 ⇒ x > -0.5 ⇒ x ∈ (-0.5; +∞)

2. Производная:
y′ = 7 ∙ 2/(2x+1) — 14 = 14/(2x+1) — 14

3. Приравняем производную к нулю:
14/(2x+1) — 14 = 0
14/(2x+1) = 14
1/(2x+1) = 1
2x + 1 = 1
2x = 0
x = 0

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (-0.5; 0): 2x+1 < 1 ⇒ 14/(2x+1) > 14 ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

При x > 0: 2x+1 > 1 ⇒ 14/(2x+1) < 14 ⇒ y' < 0 (функция убывает).

Производная меняет знак с + на -. Следовательно, x = 0 — точка максимума.

Ответ: 0

Решение:
1. Область определения:
5 — 5x > 0 ⇒ 5 > 5x ⇒ x < 1 ⇒ x ∈ (-∞; 1)

2. Производная:
y′ = 10 + 5 ∙ (-5)/(5-5x) = 10 — 25/(5(1-x)) = 10 — 5/(1-x)

3. Приравняем производную к нулю:
10 — 5/(1-x) = 0
5/(1-x) = 10
1/(1-x) = 2
1-x = 1/2
x = 1/2

4. Анализ знака производной:

При x ∈ (-∞; 0.5): 1-x > 0.5 ⇒ 5/(1-x) < 10 ⇒ y' = 10 - (<10) > 0 (функция возрастает).

При x ∈ (0.5; 1): 1-x < 0.5 ⇒ 5/(1-x) > 10 ⇒ y' = 10 - (>10) < 0 (функция убывает).

Производная меняет знак с + на -. Следовательно, x = 0.5 — точка максимума.

Ответ: 0.5 (Это точка максимума, внимательно читайте условие задачи! В данном случае найден максимум).

Решение:
1. Область определения:
Квадратный трехчлен всегда положителен (дискриминант D=36-60=-24<0, старший коэффициент 3>0), поэтому x ∈ R.

2. Производная (используем правило дифференцирования сложной функции):
y′ = (1/(3x²-6x+5)) * (6x — 6) = (6(x-1)) / (3x²-6x+5)

3. Приравняем производную к нулю:
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет.
6(x — 1) = 0 ⇒ x = 1
Знаменатель при x=1: 3-6+5=2 ≠ 0.

4. Анализ знака производной:
Знаменатель дроби всегда положителен. Знак производной зависит от числителя 6(x-1).

При x < 1: (x-1) < 0 ⇒ y' < 0 (функция убывает).

При x > 1: (x-1) > 0 ⇒ y' > 0 (функция возрастает).

Производная меняет знак с - на +. Следовательно, x = 1 — точка минимума.

Ответ: 1