Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем числитель:

10^х — 25 ∙ 2^х — 2 ∙ 5^х + 50 = 2^х ∙ 5^х — 25 ∙ 2^х — 2 ∙ 5^х + 50 = 2^х(5^х — 25) — 2(5^х — 25) = (5^х — 25)(2^х — 2) = (5^х — 5²)(2^х — 2)

Преобразуем знаменатель:
5x — x² — 4 = — (x² — 5x + 4) = — (x — 1)(x — 4)

Перепишем неравенство:

(5^х — 25)(2^х — 2) ≥ 0
— (x — 1)(x — 4)

Определяем ОДЗ: знаменатель не равен нулю, т.е. x ≠ 1 и х ≠ 4

5^х — 25 = 0 ⇒ 5^х = 5² ⇒ х = 2
2^х — 2 = 0 ⇒ 2^х = 2¹ ⇒ х = 1
x — 1 = 0 ⇒ x = 1
x — 4 = 0 ⇒ x = 4

Отмечаем на числовой прямой точки: х = 1; х = 2; х = 4

Решение неравенства : х ∈ (1; 2] U (4; +∞)

Учитывая ОДЗ: x ≠ 1 и х ≠ 4
х ∈ (1; 2] U (4; +∞)

Ответ: (1; 2] U (4; +∞)

РЕШЕНИЕ:


Определим ОДЗ:
Знаменатель не равен нулю:
3^x + 27 ≠ 0 (всегда >0),
3^x - 27 ≠ 0 ⇒ х ≠ 3

Числитель: 3^x - 81 = 0 ⇒ 3^x = 81 ⇒ x=4.

Отмечаем на числовой прямой точки: x = 3, x = 4

Интервалы: (−∞;3), (3; 4], [4;+∞).

Определим знаки:

При x < 3 : 3^x < 27, числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, дробь положительная.

При 3 < x < 4 : 27 < 3^x < 81, числитель отрицательный, знаменатель положительный, дробь отрицательная.

При x > 4 : 3^x > 81, числитель положительный, знаменатель положительный, дробь положительная.

Так как неравенство нестрогое, включаем x = 4 (числитель равен 0).

Учитываем ОДЗ: x ≠ 3.

Решение: x ∈ (−∞;3) ∪ [4;+∞).

Ответ: x ∈ (−∞;3) ∪ [4;+∞)

РЕШЕНИЕ:

Замена: t = 2^x, t > 0


Критические точки: t = 2 , t = 5 , t = 8 .
Учитываем t > 0 (так как t = 2 ^x > 0 ).

Разбиваем на интервалы:
(0; 2): числитель отрицательный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь положительна.
(2;5): числитель положительный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь отрицательна.
(5;8): числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.
(8;+∞): числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.

Неравенство ≤0, поэтому подходят интервалы, где дробь отрицательна или равна нулю:

t = 2: числитель равен 0 ⇒ дробь равна 0 (входит).

На интервале (2; 5)(2;5) дробь отрицательна (входит).

Точки t = 5 и t = 8 не входят (знаменатель обращается в 0).

Таким образом:
t∈[2;5)∪(5;8)

Но t = 5 исключена, а t = 8 также исключена (знаменатель ноль).
Проверим границы:
t = 2: дробь равна 0 — подходит.

t = 5 и t = 8: не входят в область определения.

Итог для t:
t∈[2;5)∪(5;8)

Возвращаемся к x: t = 2^х
2^х ∈[2;5)∪(5;8)

Решаем:
1. 2 ≤ 2^х<5
2¹ ≤ 2^х<5
1 ≤ х <log₂5

2. 5 < 2^х<8
5 < 2^х<2³
log₂5 < х <3

x ∈ [1; log₂5) ∪ (log₂5; 3)

Ответ: [1; log₂5) ∪ (log₂5; 3)

РЕШЕНИЕ:


Числитель положительный при любом х и может = 0
8^х — 2 = 0
8^х = 2
8^х = ³√8
х = 1/3

Определим знак знаменателя
4 — 8^х < 0

4 — 8^х < 0
8^х > 4
8^х > (³√8)²
х > 2/3
x ∈ (2/3; +∞)

Ответ: x ∈ {1/3} U (2/3; +∞)