Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

Упрощение выражений:
12^x = (3∙4)^x = 3^x ∙ 4^x
8^x = (2³)^x = 2^3x
6^x+1 = 6^x ∙ 6 = 6 ∙ 6^x
4^x+1 = 4^x ∙ 4 = 4 ∙ 4^x
2^x+5 = 2^x ∙ 32 = 32 ∙ 2^x

Подставляем в неравенство:
3^x ∙ 4^x - 2^3x - 2 ∙ 6 ∙ 6^x + 3 ∙ 4 ∙ 4^x + 32 ∙ 3^x - 32 ∙ 2^x ≤ 0
3^x4^x - 2^3x - 12 ∙ 6^x + 12 ∙ 4^x + 32 ∙ 3^x - 32 ∙ 2^x ≤ 0

Группировка и замена:
Замечаем, что:
6^x = 2^x ∙ 3^x
4^x = (2²)^x = 2^2x

Вводим замену: t = 2^x (t > 0). Тогда:
2^2x = t²
2^3x = t³
3^x остаётся (не выражается через t)

Неравенство принимает вид:
3^x ∙ t² - t³ - 12 ∙ t ∙ 3^x + 12 ∙ t² + 32 ∙ 3^x - 32 ∙ t ≤ 0

Группируем слагаемые с 3^x и отдельно с t:
3^x(t² - 12t + 32) - t³ + 12t² - 32t ≤ 0

Разложение на множители:
Заметим, что:
t² - 12t + 32 = (t - 4)(t - 8)
-t³ + 12t² - 32t = -t(t² - 12t + 32) = -t(t - 4)(t - 8)

Подставляем:
3^x(t - 4)(t - 8) - t(t - 4)(t - 8) ≤ 0
(t - 4)(t - 8)(3^x - t) ≤ 0

Возвращаемся к x: t = 2^x
(2^x - 4)(2^x - 8)(3^x - 2^x) ≤ 0

Решение неравенства:
Введём обозначения:
A = 2^x - 4
B = 2^x - 8
C = 3^x - 2^x

Находим критические точки:
A = 0 ⇒ 2^x = 4 ⇒ x = 2
B = 0 ⇒ 2^x = 8 ⇒ x = 3
C = 0 ⇒ 3^x = 2^x ⇒ (3/2)^x = 1 ⇒ x = 0

Разбиваем числовую прямую на интервалы:
(-∞; 0), (0; 2), (2; 3), (3; +∞)

Определяем знаки A, B, C на каждом интервале:
x < 0:
2^x < 1 ⇒ A < 0, B < 0
3^x < 1, но 3^x > 2^x (т.к. 3/2 > 1) ⇒ C > 0
Произведение: (-)∙(-)∙(+) = (+) > 0

0 < x < 2:
2^x ∈ (1;4) ⇒ A < 0, B < 0
3^x > 2^x ⇒ C > 0
Произведение: (-)∙(-)∙(+) = (+) > 0

2 < x < 3:
2^x ∈ (4;8) ⇒ A > 0, B < 0
3^x > 2^x ⇒ C > 0
Произведение: (+)∙(-)∙(+) = (-) < 0

x > 3:
2^x > 8 ⇒ A > 0, B > 0
3^x > 2^x ⇒ C > 0
Произведение: (+)∙(+)∙(+) = (+) > 0

В точках x = 0, x = 2, x =3 произведение равно 0.

Неравенство ≤ 0, поэтому решение:
x ∈ [0; 3]

Ответ: [0; 3]

РЕШЕНИЕ:

Область определения: Знаменатель не равен нулю
3^х — 84 ≠ 0
3^х ≠ 84
х ≠ log₃84

Замена переменной:
Пусть t = 3^х , t > 0

t² — 84t + 243 ≤ 0
t — 84

t² — 84t + 243 = 0
D = (−84)² — 4⋅1⋅243 = 7056 — 972 = 6084 = 78²

t₁ = (84 — 78) / 2 = 3
t₂ = (84 + 78) / 2 = 81

(t — 3)(t — 81) ≤ 0
t — 84

Критические точки:
t — 3 = 0 ⇒ t = 3
t — 81 = 0 ⇒ t = 81
t — 84 = 0 ⇒ t = 84

Разобьем область t>0 на интервалы:
(0;3) числитель положительный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь отрицательна.
(3;81) числитель отрицательный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь положительна.
(81;84) числитель положительный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь отрицательна
(84;+∞) числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.

Также в точках t = 3 и t = 81 числитель равен нулю, поэтому эти точки входят в решение.
Точка t = 84 не входит (знаменатель равен нулю).

Таким образом, решение для t: t ∈ (0;3] ∪ (81;84)

Возвращаемся к переменной x:
t = 3^х , t > 0

1. 0 < 3^х ≤ 3
3^х ≤ 3¹
x ≤ 1

2. 81 < 3^х ≤ 84
3⁴ < 3^х < 84
4 < x < log₃84

x ∈ ( — ∞; 1] U (4; log₃84)

Ответ: (-∞; 1] ∪ (4; log₃84)

РЕШЕНИЕ:

Введем замену: t = 11^x, где t > 0. Также учтем область определения:

Знаменатель первой дроби: t² - 16t + 60 ≠ 0

Знаменатель второй дроби: t - 10 ≠ 0



Решение неравенства для t > 0:
Критические точки: t = 1, t = 6, t = 11
Разобьем область t > 0 на интервалы:
(0; 1)
(1; 6)
(6; 11)
(11; +∞)

Определим знак выражения на каждом интервале:
t ∈ (0; 1): (t-1)<0, (t-11)<0, (t-6)<0 ⇒ дробь: (-)(-)/(-) = (-) < 0
t ∈ (1; 6): (t-1)>0, (t-11)<0, (t-6)<0 ⇒ дробь: (+)(-)/(-) = (+) > 0
t ∈ (6; 11): (t-1)>0, (t-11)<0, (t-6)>0 ⇒ дробь: (+)(-)/(+) = (-) < 0
t ∈ (11; +∞): (t-1)>0, (t-11)>0, (t-6)>0 ⇒ дробь: (+)(+)/(+) = (+) > 0

В точках t=1 и t=11 числитель равен нулю, поэтому они входят в решение.
Точки t=6 и t=10 не входят (знаменатель равен нулю).

Таким образом, решение для t:
t ∈ (0; 1] ∪ (6; 11]

Возвращаемся к x:
t = 11^x

0 < 11^x ≤ 1 ⇒ 11^x ≤ 11⁰ ⇒ x ≤ 0

6 < 11^x ≤ 11 ⇒ 11^x > 6 и 11^x ≤ 11¹ ⇒ x ∈ (log₁₁6; 1]

Учитываем область определения:

t ≠ 10 ⇒ 11^x ≠ 10 ⇒ x ≠ log₁₁10

t ≠ 6 ⇒ 11^x ≠ 6 ⇒ x ≠ log₁₁6

В интервале (log₁₁6; 1] точка x = log₁₁6 исключена, но так как интервал строгий (6 < 11^x), то она не входит.

x ∈ (-∞; 0] ∪ (log₁₁6; 1]

Ответ: (-∞; 0] ∪ (log₁₁6; 1]

РЕШЕНИЕ:

Область определения:
Знаменатели не равны нулю:
3^x + 21 ≠ 0 → 3^x ≠ -21 (всегда верно, так как 3^x > 0)
3^x - 27 ≠ 0 → 3^x ≠ 27 → x ≠ 3
Таким образом, x ≠ 3.

Замена: t = 3^x, t > 0


Критические точки:
t = 3 (числитель равен нулю)
t = -21 (не входит в t > 0)
t = 27 (знаменатель равен нулю)

Разобьем область t > 0 на интервалы:
(0; 3)
(3; 27)
(27; +∞)

Определим знак выражения на каждом интервале:
t ∈ (0; 3):
t - 3 < 0
t + 21 > 0
t - 27 < 0
Дробь: (-) / [(+)(-)] = (-)/(-) = (+) > 0

t ∈ (3; 27):
t - 3 > 0
t + 21 > 0
t - 27 < 0
Дробь: (+) / [(+)(-)] = (+)/(-) = (-) < 0

t ∈ (27; +∞):
t - 3 > 0
t + 21 > 0
t - 27 > 0
Дробь: (+) / [(+)(+)] = (+) > 0

В точке t = 3 числитель равен нулю, поэтому она входит в решение.
Точка t = 27 не входит (знаменатель равен нулю).

Таким образом, решение для t:
t ∈ (0; 3] ∪ (27; +∞)

Возвращаемся к x:
t = 3^x

0 < 3^x ≤ 3 → 3^x ≤ 3¹ → x ≤ 1

3^x > 27 → 3^x > 3³ → x > 3

Учитываем область определения: x ≠ 3 (уже выполнено во втором случае).

x ∈ (-∞; 1] ∪ (3; +∞)

Ответ: (-∞; 1] ∪ (3; +∞)