Учебно-методические комплексы

РЕШЕНИЕ:

Замена: t = 8^x, t > 0


8t² — 15t + 8 = 0
t — 1 = 0
t — 4 = 0

8t² — 15t + 8 = 0
D=(−15) ² −4⋅8⋅8=225−256=−31<0
Корней нет, 8t² — 15t + 8 > 0 при всех t (так как коэффициент при t² положительный).

Знак неравенства зависит от знака знаменателя:
t — 1 = 0 ⇒ t = 1
t — 4 = 0 ⇒ t = 4

Решаем методом интервалов:
t<1: оба множителя отрицательны, произведение положительно.
1 < t < 4: один отрицательный, один положительный — произведение отрицательно.
t>4: оба положительны — произведение положительно.
Следовательно: t < 1 или t > 4

Возвращаемся к x: t = 8^x, t > 0
1. 8^x < 1
8^x < 8⁰
x < 0

2. 8^x > 4
8^x > 8^2/3
x > 2/3
Следовательно: x < 0 или x > 2/3
x ∈ ( — ∞;0) U (2/3; +∞)

Ответ: ( — ∞;0) U (2/3; +∞)

РЕШЕНИЕ:

Замена: t = 3^x, t > 0


Критические точки:
t — 3 = 0 ⇒ t = 3
t — 81 = 0 ⇒ t = 81
t — 9 = 0 ⇒ t = 9

Разбиваем на интервалы:
(0;3): числитель отрицательный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь положительна.
(3;9): числитель положительный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь отрицательна.
(9;81): числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.
(81;+∞): числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.

Неравенство ≤ 0 , поэтому подходят интервалы, где дробь отрицательна или равна 0.

t = 3: числитель равен 0 ⇒ дробь равна 0 (входит).
На интервале (3;9) дробь отрицательна (входит).
Точки t = 9 и t = 81 не входят (знаменатель обращается в 0).

Таким образом: t∈[3;9)

Возвращаемся к x: t = 3^x, t > 0
3 ≤ 3^x < 9
3¹≤ 3^x < 3²
1 ≤ х < 2

Ответ: x ∈ [1; 2)

РЕШЕНИЕ:

Замена: t = 3^x, t > 0


Критические точки:
t — 3 = 0 ⇒ t = 3
t — 27 = 0 ⇒ t = 27
t — 9 = 0 ⇒ t = 9

Разбиваем на интервалы:
(0;3): числитель отрицательный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь положительна.
(3;9): числитель положительный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь отрицательна.
(9;27): числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.
(27;+∞): числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.

Неравенство ≥ 0 , поэтому подходят интервалы, где дробь положительна или равна 0.

t = 3: числитель равен 0 ⇒ дробь равна 0 (входит).
Интервалы (0;3) (9;27) (27;+∞) : дробь положительна (входят)
Точки t = 9 и t = 27 не входят (знаменатель обращается в 0).

Таким образом: t∈ (0;3] U (9;27) U (27;+∞)

Возвращаемся к x: t = 3^x, t > 0

1. 0 < 3^x ≤ 3
3^x≤ 3¹
x ≤ 1

2. 9 < 3^x < 27
3²<3^x< 3³
2 < x < 3

3. 3^x > 27
3^x > 3³
x > 3

x∈(−∞;1] ∪ (2;3) ∪ (3;+∞)

Ответ: (−∞;1] ∪ (2;3) ∪ (3;+∞)

РЕШЕНИЕ:
Замена: t = 2^x, t > 0


Критические точки:
t — 3 = 0 ⇒ t = 3
t — 4 = 0 ⇒ t = 4
t — 2 = 0 ⇒ t = 2

Учитываем t > 0 и t ≠ 1/2 и t ≠ 3 и t ≠ 4 (из знаменателей)

Разбиваем на интервалы:
(0;2): числитель отрицательный, знаменатель отрицательный ⇒ дробь положительна.
(2;3): числитель отрицательный, знаменатель положительный ⇒ дробь отрицательна.
(3;4): числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.
(4;+∞): числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна.

Неравенство ≤ 0 , поэтому подходят интервалы (2;3] и точка t = 3 (числитель равен 0)

Таким образом: t∈(2;3]

Возвращаемся к x: t = 2^x, t > 0
2 < 2^x ≤ 3
2¹ < 2^x ≤ 3
1 < х ≤ log₂3

Область определения: x ≠ 1, x ≠ -1, x ≠ 2

x ∈ (1; log₂3)

Ответ: (1; log₂3)