Учебно-методические комплексы

№ 17 B20
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого
набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
- к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
-вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

№ 18 В19
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3,
5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого
набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
-к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
-вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел
первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было
столько же, сколько и двузначных.

№ 19 B18
Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.
a) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами m1, m2 и m3 так, что m1 ≥ m2 ≥ m3. Найдите наименьшее такое число d, что m1 − m2 ≤ d и m2 − m3 ≤ d.

№ 20 B17
Есть 2 камня, каждый массой 100 тонн, 6 камней, каждый массой 20 тонн, и 4 камня, каждый массой 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 12 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 12 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами m1, m2 и m3 так. что m1 ≥ m2 ≥ m3. Найдите наименьшее такое число d, что m1 − m2 ≤ d и m2 − m3 ≤ d