Учебно-методические комплексы

№ 21 B16
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвуют 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает a первых, b вторых и c третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается 10a + 4b + c очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена–1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно a1, b1 и c1, а у спортсмена–2 — a2, b2 и c2, то рейтинг спортсмена–1 был выше рейтинга спортсмена–2 в следующих случаях:
a1 > a2,
a1 = a2 и b1 > b2,
a1 = a2, b1 = b2 и c1 > c2.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковыми.
а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше D. Найдите наибольшее возможное значение D.
в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними значениями
набранных очков у спортсмена с наивысшим рейтингом и у спортсмена с наименьшим рейтингом.

№ 22 B15
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвуют 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает a первых, b вторых и c третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается 10a + 4b + c очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена–1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно a1, b1 и c1, а у спортсмена–2 — a2, b2 и c2, то рейтинг спортсмена–1 был выше рейтинга спортсмена–2 в следующих случаях:
a1 > a2,
a1 = a2 и b1 > b2,
a1 = a2, b1 = b2 и c1 > c2.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов не совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
a) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл Q для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, но каждому из них будут присваивать рейтинг 10a + k1b + k2c очков. Организаторы обсуждают в данном формуле такие значения k1 и k2, такие, что 1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ 9.
Найдите все пары (k1, k2), при которых возможно получить наибольшее значение целых значений Q.

№ 23 B14
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку если число делится на 3 - красную, если на 4 - синюю, если на 5 - зелёную Получилось так, что на каждой карточке
поставлено не менее двух цветовых отметок
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200 ?
б) Получилось, что на k карточках есть только синяя и зелёная отметки, на k карточках только синяя и красная, на k карточках - только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанны на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37 . Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточка.

№ 24 B13
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1 . Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 - красную, если на 4 - синюю, если на 5 - зелёную. Получилось так, что на каждой
карточке ровно две цветовые отметки.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200 ?
б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.